Закон сохранения энергии, определяющие соотношения и дифференциальные уравнения движения при деформации сплошной среды - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Известно, что опыты с интерферометром Майкельсона проводились с целью... 1 136.71kb.
Вопросы: 1 Эффективно ли использование солнечной энергии 1 16.93kb.
1. Сопромат. Прочность. Допущения. Нагрузки, перемещения, деформации 1 26.95kb.
С7 определение реакций твердого тела 1 52.16kb.
Тема: Иррациональные уравнения 1 35.75kb.
Расчет потерь тепла произведен согласно «Инструкции по организации... 1 15.69kb.
Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10 химико-биологическом... 1 114.52kb.
Урок алгебры в 8 классе на тему «Квадратные уравнения» учитель математики... 1 83.03kb.
В теории и практике понятие «уголовно-процессуальный закон» используется... 1 164.17kb.
1 Аналогично доказанному в пункте 30, 5 предельному соотношению 1 41.25kb.
«Метод проектов на уроках физика, как фактор развития исследовательской... 1 28.71kb.
Семинар повышения квалификации «Спортивно-познавательный туризм» 1 94.56kb.
Публичный отчет о деятельности моу кассельская сош 2 737.71kb.
Закон сохранения энергии, определяющие соотношения и дифференциальные уравнения движения - страница №2/4

p = pi xi,pp . (3.42)

или, в развернутой записи,

=(x x +y y +z z) ;  = (x x +y y +z z) ;

(). (3.42a)

Приведенный выше анализ показывает, что для рассматриваемого случая упругой деформации, когда J0 , J2 , J3 являются независимыми инвариантами обратимого процесса, выполняется условие p = tp , а уравнение для приращения энергии (3.10) принимает вид

du = pi dxi,p = p dep = tp dep . (3.43)

Такой же результат может быть получен, если при записи полного дифференциала приращения энергии, вместо (3.30), в качестве независимых инвариантов принять базовые деформации (2.22), если они однозначно определяются через инварианты (3.29).

Если, по аналогии с средним напряжением Коши , ввести понятие среднего напряжения Лагранжа

3 = ++ , (3.44)

тогда производная определяет выбор шкалы 

 = . (3.45)

При условии

2 = - = 3К ,

как и в уравнении (3.27а), получаем

 = 3K (e - 1) .

В этом случае напряжения Лагранжа и Коши определяются по уравнениям

pi = 3К (ep - 1) , (3.46а)



= = 3K(ep - 1) . (3.46b)

Как будет показано ниже, переход к одному модулю при описании процессов деформации в пространстве переменных Лагранжа не противоречит общепринятым представлениям о закономерностях в области упругих деформаций. Соотношения между компонентами девиаторов напряжений и деформаций Коши (3.35) зависят от условий деформирования, которые учтены в соотношениях (3.26а) коэффициентом Пуассона .

При описании процессов в форме Лагранжа основные уравнения в упругой области можно существенно упростить при обеспечении инвариантности приращения энергии и без ограничений на поворот заготовки или численные значения деформаций, если принять в исходном состоянии

=  = , (3.47)

где в общем случае под будем понимать некоторую константу, не обязательно совпадающую с утроенным модулем объёмной упругости 3К.

Предполагаемое при этом изменение шкалы средних напряжений связано с выбором начальных условий, т. е. относится к субъективным факторам и не может быть принципиальным (как и при выборе шкалы температур) при решении различных задач, связанных с процессами деформации. При этом напряжения Лагранжа pi определяются по уравнениям (3.13) и отличаются от деформаций xi,p лишь размерным множителем. Соотношения (3.13) можно записать в виде

, (3.48)

где введены, по аналогии с характеристиками деформированного состояния, понятия среднеквадратических отклонений (Т) и обобщенных напряженийе) Лагранжа

Т2 = (p - ) (p - ) = 2 Г2 ; Te2 = pp = 32 + T2 = 2 Гe2 . (3.49)

Во всех случаях тензор pi несимметричен. Отсутствие таких ограничений для напряжений Лагранжа согласуется и с другими критериями [19]. Вместе с тем, тензор напряжений Коши остается симметричным, а его компоненты определяются по соотношениям



= xi,p xj,p/R . (3.50)

Уравнения (3.9) определяют среднее напряжение Коши

3R = Гe2 . (3.51)

Условие (3.47) эквивалентно предположению, что приращение энергии деформации в упругой области зависит только от второго инварианта (2.21) или обобщенных напряжений и деформаций Лагранжа

du = 0,5 е2 = Тее . (3.52)

На первый взгляд такой вариант может показаться неприемлемым, так как в классической теории упругости применяют два независимых модуля [6-8]. Тем не менее, их появление можно объяснить особенностями соотношений (3.8) между напряжениями Коши и Лагранжа, правая часть которых зависит от всех 9 обобщенных координат (1.9), т. е. учитывает не только свойства среды, но и условия деформирования.

Кроме того, оказывает влияние переход к обычной шкале средних напряжений. Например, при гидростатическом нагружении из уравнения (3.9) следует

3R = 3e ,

и для средних напряжений в новой шкале при = e получаем

= e/R = /e = R-1/3 .

При переходе к обычной шкале необходимо, в соответствии с уравнением (3.27a), принять = (e - 1) Тогда зависимость между средними напряжениями Коши и изменением объёма в обычной шкале принимает вид



= e/R = e(e - 1)/R = (e - 1)/e2 = (R1/3 - 1) R-2/3.

Пренебрегая квадратом и кубом отношения /, полученный результат можно преобразовать к виду (3.26). Однако полученная зависимость более точно соответствует экспериментальным данным. Например, для железа при = 3K = 507 ГПа она имеет погрешность не выше 0,015% по сравнению с полученной экспериментально для диапазона давлений до 300 ГПа [21]

R = 1 - 5,826 10-6 p + 0,8 10-10 p2 .

Аналогичным образом, при линейном растяжении в направлении оси х с уравнениями движения (ЛР-1.1) из общих соотношений (3.8) и (3.51)

3R = 3e + Г2 (3.53)

для обычной шкалы напряжений имеем

3R = 3e(e - 1) + Г2 . (3.53a)

Принимая во внимание соответствующие этому случаю нагружения характеристики деформированного состояния (см. разд. 2.5.1)

R = exp[(1 - 2) xx] = 1 + (1 - 2) xx. ; (ЛР-2.5)

e = exp(xx) ; e = exp(-xx) ; e = exp(-xx) ; (ЛР-2.9)

e = 1 + (1 - 2) xx /3 ; (ЛР-2.10)

Г2 = Гe2 - 3e2 = (2/3) [(1 + ) xx]2 , (ЛР-2.11)

для нормальных напряжений xx в обычной шкале получаем

xx = xx (1 - 2) ,

что совпадает при = 3К с известным законом Гука и определяет зависимость между модулями упругости (3.26a).

При чистом сдвиге с уравнениями движения (С1-1.1) нормальные и касательные напряжения Коши в соответствии с уравнениями (3.50) составляют

xx = yy = (1 + 2g2) ,

xy = yx = 2g . (3.60)

При переходе к обычной шкале напряжений меняются только нормальные напряжения, касательные остаются пропорциональными углу сдвига, что согласуется с общепринятыми представлениями, хотя модуль упругости, если принять как и прежде = 3К, отличается.

Таким образом, основные соотношения теории упругости можно рассматривать как следствие соотношений (3.8) и (3.13) при переходе к обычной шкале средних напряжений, а входящий в соотношения между модулями упругости (3.26а) коэффициент Пуассона характеризует не свойства материала, а условия его деформации.

Нормальные напряжений xx в новой шкале, например при линейном растяжении

xx = (1 + xx)2/R ,

не имеют привычного смысла и относятся не к силовым, а к энергети-ческим функциям процесса в соответствии с теоремой Лагранжа [2], которая использована в соотношениях типа (3.31).

Как было отмечено выше, уравнения (3.13) и (3.55) предполагают переход не только к новой шкале средних напряжений  , но и к новой энергетической шкале за счет энергии начальных напряжений 0 на перемещениях, связанных с деформацией частицы. Для перехода к обычной энергетической шкале для процессов деформации в главных осях, когда средняя относительная длина ребер является инвариантом, необходимо вычесть из приращения энергии (3.52) слагаемое 30de =3de

du0 = (0,5dГе2 - 3de) . (3.54)

Если в исходном состоянии нормальные напряжения принять равными коэффициенту пропорциональности 0 = , тогда затраты мощности при жестком повороте частицы (в новой шкале) отсутствуют (см. ур. 3.52), тензор напряжений Коши остается симметричным (см. ур. 3.50), а изменение объёма учитывает второй инвариант (2.21).

Таким образом, производные характеризуют свойства материала, которые могут быть определены по экспериментальным данным для процессов с однородным деформированным состоянием, например на основе уравнения (3.24), а выражения (3.13), (3.31) и (3.36) представляют общий вид определяющих соотношений при описании процесса деформации в форме Лагранжа, обеспечивая инвариантность приращения энергии (3.8) при различных условиях деформации.

В области пластических деформаций приращение энергии du не является полным дифференциалом инвариантов Ji или только обобщенной деформации Ге. Тем не менее, соотношения (3.48) и (3.52) допускают возможность перехода от постоянного коэффициента пропорциональности = const к произвольной функции е,...) обобщенной деформации, температуры и пр. Поэтому их можно распространить за пределы упругих, т. е. в область пластических деформаций.

Использованный метод анализа возможных вариантов определяющих соотношений необычен по сравнению с применяемыми в механике сплошной среды [8]. В следующем разделе приведены дополнительные обоснования полученных результатов.

3.8. ВОЗМОЖНЫЕ ВАРИАНТЫ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ

ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБАХ ЗАПИСИ ПРИРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Вид определяющих соотношений зависит от используемой меры деформации. В классической теории принята пропорциональность между шаровыми и девиаторными компонентами напряжений, деформаций (2.1) или скоростей деформаций (2.2), по аналогии с уравнениями (3.26) [7-9].

Для обоснования предпочтительных мер деформации и соответ-ствующих им определяющих соотношений в пространстве лагранжевых координат можно воспользоваться аналогией с теорией упругости:

а) преобразуем уравнение (3.10) к трем слагаемым, соответствующим затратам энергии внешних сил на противоположных гранях паралле-лепипеда, как при записи уравнения (3.11) в главных осях

dU/V = R i di ; (3.55)

б) в оставшихся трех слагаемых выделим средние значения напряжений и приращения деформаций d

du = R i di = R (3d + ) ; (3.56)

и постулируем пропорциональность множителей (по аналогии с шаровыми и девиаторными компонентами) для любых условий деформирования.

Как следует из основного уравнения (3.1), правая часть энергетических соотношений соответствует скалярному произведению векторов полного напряжения и приращения скорости на противоположных гранях деформированного параллелепипеда. В уравнении (3.13) оно записано в виде произведения проекций этих векторов на оси наблюдателя и содержит 9 слагаемых.

Переход к трем слагаемым возможен при различных вариантах записи энергетических соотношений с проектированием сил и скоростей на характерные направления, связанные с деформацией частицы. Например, проектируя для каждой пары граней рассматриваемой частицы вектор приращения скорости на направление полного вектора напряжений (3.40), получим

du = (px dxp /tp + py dyp /tp + pz dzp /tp) tp = tp dp , (3.57)

где dp - приращение проекции ребра деформированного параллелепипеда, отнесенного к начальной его длине p, на направление вектора полного напряжения

dp = (dxppx + dyppy + dzppz)/tp . (3.58)

Используя для средних значений полных напряжений и приращения деформаций обозначения

tср = (t + t + t)/3 ; d = (d + d + d)/3 , (3.59)

вместо (3.57) можно записать

du = tср d + (tp - tср)(dp - d) . (3.60)

Постулировать пропорциональность множителей, например с опреде-ляющими соотношениями в виде

tср =  ; (tp - tср) =  (p - ) , (3.61)

где и  - положительные скалярные функции, характеризующие свойства материала, возможно, если в результате приращение энергии du будет выражаться через инвариантные характеристики деформированного состояния. Кроме того, их справедливость должна быть подтверждена экспериментальными исследованиями или соответствием результатов общепринятым, например для процессов однородной деформации при линейном растяжении или сдвиге.

Для процессов деформации, не относящихся к монотонным, более пред-почтительными являются разложения полных напряжений на направления ребер или векторов приращения скорости на противоположных гранях параллелепипеда. Для анализа этих вариантов наряду с обозначением (3.42) для проекций напряжений на направление ребер, введём новое обозначение для проекций полного напряжения (3.40) на направление вектора приращения скорости на противоположных гранях частицы

=(x xt +y yt +z zt) ;  = (x xt +y yt +z zt) ;

= (x xt +y yt +z zt). (3.62)

В сокращённой записи компоненты p можно записать (без суммирования по индексу “р” в правой части)

p = pi xi,tp/sp , (3.62a)

где sp определяет модуль вектора приращения скорости, отнесенный к начальной длине ребра

sp2 = xtp2 + ytp2 + ztp2 . (3.63)

Так как проекции полных напряжений (3.42) и (3.62) в общем случае не совпадают с полным вектором напряжения (3.40) на соответствующих гранях, имеют место неравенства

p2 px2 + py2+ pz2 = tp2 , p2 tp2 . (3.64)

При проектировании напряжений на вектор приращения скорости уравнение (3.10) принимает вид

du = pi xi,tp dt = pm |sp| dt ; (3.65)

где pm = pi xi,tp/|sp| , или

du = pi xi,tp dt = p sp dt ; (3.65а)

в зависимости от принятого правила знаков для обобщенной скорости деформации sp .

Определенная по модулю обобщенная скорость деформации |sp| может иметь практическое значение при анализе необратимых процессов, например для вязко-пластических материалов.

Для упругой области существенное значение имеет характер деформа-ции, включая знак изменения объёма или длины ребер параллелепипеда. Чтобы согласовать знаки множителей с изменением относительных длин ребер, домножим каждое из слагаемых на квадрат знака скорости изменения длины соответствующего ребра sign(ept)

 = pi xi,tp = pm |sp| [sign(ept)]2= p sp = 3vs + (p - v) (sp -s) . (3.66)

Тогда обобщенная скорость деформации sp

sp = sign(ept) |sp| = sign(ept)(xtp2 + ytp2 + ztp2)1/2 (3.67)

и проекция полного напряжения на вектор приращения скорости

p = sign(ept) pm = sign(ept)(pi xi,tp/|sp|) = pi xi,tp/sp (3.68)

сохраняют знак скорости изменения длины соответствующего ребра при средних значениях (для средних значений проекций полных напряжений p использовано обозначение v вместо , которое, в соответствии с уравнением (3.9) определяет среднее напряжение Коши)

3v =  +  +  ; 3s = s + s + s . (3.69)

Скорости деформации (3.67) позволяют определить изменения размеров параллелепипеда при интегрировании по времени

p = . (3.70)

Геометрически деформации p как в главных, так и в произвольных осях (в процессах типа сдвига) можно интерпретировать как отношение вектора относительного перемещения концов отрезка, например ребра бесконечно малого параллелепипеда, к его длине в исходном состоянии.

Принимая гипотезу о пропорциональности напряжений и деформаций в виде

v = 1  ; p - v = 2 (p - ) , (3.71)

для приращения энергии получим

du = 1,51 d2 + 0,52 d(p - )2 . (3.72)

Деформации (3.70) близки к главным значениям тензора малых деформаций [7 - 11]

p ep - 1 (3.73)

и соотношения (3.71) практически совпадают с общепринятыми (3.15) в области упругих деформаций. Однако, даже при одинаковых коэффициентах пропорциональности 1 =2 =, входящая множителем в приращение энергии

du = 0,5 [3d2 + d(p - )2] = 0,5 d(2) (3.74)

мера деформации

2 = 32 + (p - )2 = 2 + 2+ 2 (3.75)

отличается от инварианта (2.21), хотя и изменяется в достаточно узких пределах (J2 = Ге2)

Ге2 -6(e - 1) - 3Ге2 - 3 . (3.76)

Например, при линейном растяжении (см. ур - ия ЛР-1.1) деформации p совпадают с деформациями Коши

= exp(xx) - 1 xx;  =  = exp(-xx) - 1 -xx;  (1 - 2 ) xx/3;

средние значения и отклонения p, p от средних

v/ = 1 = 3K ; (p - )/(p - ) = 2 = 2G

пропорциональны, как и в классическом варианте теории упругости [6-9].

При различных коэффициентах 1 и 2, с учетом соотношения между модулями упругости и коэффициентом Пуассона, совпадает с общепринятым и значение энергии деформации

u = 0,5 xxxx = 1,5K (1 - 2) xx2 .

Но если принять 1 = 2 = , тогда, в соответствии с уравнением (3.74), получим

u = (1 + 22) xx2 .

Итак, при различных коэффициентах 1 и 2 получаем соответствующие общепринятым определяющие уравнения, но приращение энергии зависит от инвариантов деформированного состояния только при деформации в главных осях, когда J1 = 3e. Если же принять коэффициенты одинаковыми 1 = 2 = , тогда приращение энергии при любых условиях нагружения будет инвариантным, но результат для приращения энергии отличается от получаемого по теории упругости.

При сдвиге с уравнениями движения (С1-1.1) деформации (3.70) совпадают с деформациями сдвига тензора Коши (2.1)

=  = g ;  = 0 ,

но среднее значение  = 2g/3 не соответствует, как это принято в теории упругости, относительному изменению объёма.

С учетом закона Гука (3.26) для сдвига компоненты тензора напряжений Коши

xx = yy = zz = yz = zx = 0 ; xy = 2Gg

и соотношения (3.7) позволяют определить напряжения Лагранжа

x = y = -2Gg2 ; y = x = 2Gg(1 + 2g2)1/2 ; z = z = z = 0 .

Их проекции на направление вектора приращения скорости составляют

=  = 2Gg (1 + 2g2)-1/2 ; v = 4/3Gg (1 + 2g2)-1/2 .

Таким образом, в этом случае пропорциональны не только разности, но и сами компоненты

(p - )/(p - ) = p/p = 2G .

Другими словами, коэффициенты одинаковы (1 = 2 = ) и приращение энергии совпадает с общепринятым u = g2 при = 2G.

Аналогичная ситуация имеет место и для других способов описания уравнений движения при сдвиге (см. варианты С1-С4 в разд. 1.13, 3.9).

К недостаткам проектирования напряжений (3.62) на направление вектора приращения скорости следует отнести трудности геометрической интерпретации меры (3.70) в общем случае деформации, а также несовпа-дение правой части приращения энергии (3.72) с инвариантами деформи-рованного состояния даже при равенстве коэффициентов 1 = 2.

При проектировании сил и скоростей в уравнении (3.10) на направление ребра, соединяющего соответствующую пару граней деформированного параллелепипеда, появляются ортогональные ребру проекции и окончательный результат принимает достаточно громоздкий вид

du/dt =  =  et +  et +  et + e [x (x/e)t + y (y/e)t + z (z/e)t] +

+ e [ x (x/e)t + y (y/e)t + z (z/e)t ] +

+ e [ x (x/e)t + y (y/e)t + z (z/e)t ] , (3.77)

где p - проекции полных напряжений на направление соответствующих ребер (3.42), ep , ept - относительные длины ребер и скорости их изменения, соответственно. Отношения вида (xp/ep)t в квадратных скобках характери-зуют скорость изменения направляющих косинусов ребер деформируемой частицы в пространстве наблюдателя. При деформации в главных осях они обращаются в ноль.

Такой вид уравнений затрудняет выбор определяющих соотношений. Более удобную форму записи можно получить, если предварительно воспользоваться соотношением (3.9), справедливым для любых условий деформации, а затем проектировать на направление ребра не только напряжения, но и их приращения во времени.

Из соотношения (3.9) между напряжениями Коши и Лагранжа следует

d(3R) = dpi xi,p + pi dxi,p , (3.78)

тогда уравнение для приращения энергии (3.13) можно записать в виде

du = pi dxi,p = d(3R) - xi,p dpi. (3.79)

Первое слагаемое представляет полный дифференциал и зависит только от инвариантов. Так как множителями напряжений pi в уравнении (3.9) являются обобщенные координаты xi,p, т. е. проекции ребер параллеле-пипеда на оси координат наблюдателя, можно перейти к проекциям напряжений на соответствующие ребра (3.42) и записать выражение в скобках в виде суммы

3R = p еp = 3e + (p - ) (ep - e) , (3.80)

где


3 = ++ ; 3e = e + e + e . (3.80a)

Во втором слагаемом вместо проекций напряжений pi входят их приращения dpi , множителями которых также являются обобщенные координаты xi,p , что позволяет перейти к проекциям приращения полных напряжений на направление соответствующих ребер (по аналогии с 3.42), для которых использовано обозначение с двумя одинаковыми нижними индексами (без суммирование по индексу “р” в правой части)


<< предыдущая страница   следующая страница >>