Закон сохранения энергии, определяющие соотношения и дифференциальные уравнения движения при деформации сплошной среды - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Известно, что опыты с интерферометром Майкельсона проводились с целью... 1 136.71kb.
Вопросы: 1 Эффективно ли использование солнечной энергии 1 16.93kb.
1. Сопромат. Прочность. Допущения. Нагрузки, перемещения, деформации 1 26.95kb.
С7 определение реакций твердого тела 1 52.16kb.
Тема: Иррациональные уравнения 1 35.75kb.
Расчет потерь тепла произведен согласно «Инструкции по организации... 1 15.69kb.
Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10 химико-биологическом... 1 114.52kb.
Урок алгебры в 8 классе на тему «Квадратные уравнения» учитель математики... 1 83.03kb.
В теории и практике понятие «уголовно-процессуальный закон» используется... 1 164.17kb.
1 Аналогично доказанному в пункте 30, 5 предельному соотношению 1 41.25kb.
«Метод проектов на уроках физика, как фактор развития исследовательской... 1 28.71kb.
Семинар повышения квалификации «Спортивно-познавательный туризм» 1 94.56kb.
Публичный отчет о деятельности моу кассельская сош 2 737.71kb.
Закон сохранения энергии, определяющие соотношения и дифференциальные уравнения движения - страница №1/4


Алюшин Ю.А. Механика процессов деформации в пространстве переменных Лагранжа




  1. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

В соответствии с законом сохранения энергии [6-10] для фиксированной частицы с массой m и начальным объёмом V0 работа внешних сил dA затрачивается на изменение потенциальной dEp и кинетической dEk энергии, а также диссипацию части энергии, выделяемой в виде тепла dQ (другие тепловые источники в данном разделе не рассматриваются)

dA = dEp + dEk + dQ (3.1)

Тогда с учетом известных соотношений для приращения работы dA внешних сил и кинетической энергии dEk получим

dU = dA - dEk = Pdr - d =

= (Ppx xt + Ppy yt + Ppz zt) dt - 0,5 m d(xt2 + yt2 + zt2 ) , (3.2)

где сумма первых трех слагаемых должна быть распространена по всем поверхностям, ограничивающим рассматриваемую частицу. Силы Ppi действуют на гранях параллелепипеда с фиксированной координатой Лагранжа p в направлении осей xi .

Предполагая, что все функции заданы в переменных Лагранжа, с точностью до бесконечно малых первого порядка (по пространственным переменным и времени) уравнение (3.2) принимает вид



(3.3)











После преобразований, пренебрегая слагаемыми второго порядка малости относительно приращений координат и переходя к лагранжевым напряжениям [17]



или ; ; , (3.4)

вместо (3.3) можно записать



(3.5)

+ +.

Уравнение (3.5) является основным энергетическим соотношением для уравнений движения (1.3), но в таком виде практически не применяется. Это связано с особенностями напряжений pi. В соответствии с обозначениями (3.4), они не имеют определенной ориентации относительно площадок, на которых действуют. Действительно, первый индекс указывает фиксированную на грани параллелепипеда координату Лагранжа, а второй - направление проекции силы или напряжения в пространстве наблюдателя. Тогда нормальные в исходном состоянии напряжения x после поворота частицы на 900 становятся касательными, а касательные y - нормальными.

Более определенный смысл имеют напряжения Коши , действующие на площадках, ортогональных осям наблюдателя: при двух одинаковых индексах они являются нормальными, при двух различных индексах - касательными (к площадкам, на которых они действуют).

Чтобы перейти в уравнении (3.5) к напряжениям Коши, достаточно рассматриваемый момент времени считать начальным (t = 0), тогда напряжения pi и совпадают [17], переменные Лагранжа равны текущим координатам и вместо (3.5) следует записать



+ (3.6)



+ .

Уравнения (3.2)-(3.6) не учитывают объёмные силы. При необходимости, например при анализе процессов деформации под действием собственного веса (см. разд. 4.1), они должны быть включены дополнительно.
3.1. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ ЛАГРАНЖА И КОШИ

Уравнение (3.6), полученное из более общего уравнения (3.5) за счет перехода к новым координатам Лагранжа в текущий момент времени, справедливо только для этого момента времени. Чтобы определить приращение энергии в фиксированной частице среды интегрированием уравнения (3.6), необходимо после каждого достаточно малого интервала времени переходить к новым переменным Лагранжа, как это принято при анализе процессов по методу конечных элементов [9-10]. Вместе с тем, даже при таком способе интегрирования, должна учитываться связь напряжений Коши с предшествующей деформацией.

Так как приращение энергии не должно зависеть от субъективных факторов, на любом интервале времени правые части уравнений (3.5) и (3.6) должны быть эквивалентными. С учетом зависимости между производными от любых функций, в том числе компонент скорости, по переменным Эйлера и Лагранжа (1.23)-(1.24), условие эквивалентности выполняется, если напряжения Коши и Лагранжа связаны соотношениями (- алгебраические дополнения элементов определителя 1.18)

;

; (3.7)

,

которые фактически совпадают с известными “статическими условиями на контуре” [9-11]. Тогда функции можно интерпретировать как напряжения на проекциях граней деформированного параллелепипеда, ориентированных по осям наблюдателя xi.

Система (3.7) может быть решена относительно напряжений

;

; (3.8)

.

С учетом правила суммирования по повторяющимся индексам, системы (3.7) и (3.8) можно записать в компактном виде

pi = ; (3.7a)

= pi xj,p/R ; (3.8a)

непосредственной подстановкой которых в уравнения (3.5) или (3.6) можно убедиться в их тождественности в любой момент времени.

В соответствии с уравнениями (3.8) среднее напряжение Коши зависит от всех компонент напряжений Лагранжа pi и обобщенных координат

3R = pi xi,p , (3.9)

Соотношения (3.7) - (3.9) справедливы для любых систем координат и условий деформации.
3.2. УДЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ

Так как приращение энергии деформации не должно зависеть от выбора системы отсчета скоростей, из уравнений (3.5) и (3.6) следует

du =dU/V0 = dt = pi xi,tp dt = pi dxi,p ; (3.10)

или


du = R xj,ti dt = R dt . (3.11)

В последнем уравнении множитель R учитывает изменение объёма частицы на предшествующем этапе деформации, как это и следует из сравнения левых частей уравнений (3.5) и (3.6).

В соответствии с уравнением (3.10) под напряжениями Лагранжа следует понимать производные от приращения энергии частицы du по обобщенным координатам xi,p. Энергетическая интерпретация напряжений Коши гораздо сложнее. Множители в уравнении (3.11) Rdt не позволяют распространить аналогичное утверждение, даже если изменение объёма отсутствует (R = 1), так как из уравнений (1.27) следует .

Таким образом, приращение удельной энергии du в окрестности каждой частицы деформируемого тела определяют действующие в текущий момент напряжения и деформации, зависимость между которыми обычно формулируют в виде определяющих (constitutive relations) соотношений [6-11], характеризующих свойства среды.



Определяющие уравнения должны устанавливать зависимость между компонентами напряжений, деформаций и свойствами деформируемого материала [6-8]. Функции, описывающие свойства среды, могут быть только скалярными и иметь аргументами инварианты, не зависящие от выбора системы отсчета наблюдателя и других субъективных факторов.

В упругой области приращение энергии, с учетом обратимости процессов, должно быть характеристикой состояния, а в пластической - функцией процесса, учитывающей историю деформирования. При жестком поступательном или вращательном движениях приращение энергии по уравнениям (3.10) или (3.11) должно обращаться в ноль.


3.3. УСЛОВИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ПРИРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПОВОРОТУ ЧАСТИЦЫ И ОСЕЙ КООРДИНАТ

Работа внешних сил, затрачиваемая на деформацию частицы, зависит от свойств материала и изменений её кинематических инвариантов.

В общем случае компоненты тензора (1.9), как и напряжения Лагранжа, не являются инвариантами. Основная трудность при формулировке определяющих соотношений состоит в выборе таких их комбинаций, которые должны оставаться справедливыми в любых системах отсчета и обеспечивать инвариантность правой части уравнений (3.10) или (3.11) по отношению к различным субъективным факторам, включая выбор системы координат, и повороту частицы как жесткого целого.

Сравнивания приращение во времени квадратичного инварианта (2.21)



(3.12)

с правой частью уравнения (3.10), можно утверждать, что инвариантность будет обеспечена, если принять пропорциональность напряжений Лагранжа и обобщенных координат



. (3.13)

При этом для любой скалярной функции приращение энергии зависит от обобщённой деформации (2.29)



(3.14)

Определяющие соотношения (3.13) не являются единственно возможными, но они позволяют получить наиболее простые зависимости для определения уравнений движения (1.3).

Как будет показано ниже, соотношения (3.13) хорошо согласуются с используемыми в теориях упругости и пластичности [7-11], но предполагают переход к новой шкале нормальных напряжений, так как в исходном состоянии (= 1) получаем . В дальнейшем такую шкалу, в отличие от общепринятой, будем называть энергетической. Изменения напряжений Лагранжа и Коши при переходе из одной шкалы в другую будут рассмотрены в следующих разделах.


3.4. ОБЪЕМНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ

Как следует из уравнения (3.14), при постоянном значении произведение (0,5Ге2) можно рассматривать как массовую плотность энергии, отнесённую к начальному объёму частицы, которая на протяжении процесса деформации (как и масса частицы) остаётся неизменной. Средние напряжения Коши тогда можно интерпретировать как меру объёмной плотности энергии, отнесённой к текущему значению объёма частицы

э = , (3.15)

Действительно, при постоянном с учётом уравнения (3.9) и соотношений (3.13) получаем



(3.16)

С другой стороны, при объёмной плотности энергии частицы (3.15) приращение удельной энергии составит

du = = d(эR) (3.17)

и среднее напряжение при соответствующем выборе константы (С = 0)



пропорционально объёмной плотности энергии



. (3.18)

Так как в исходном состоянии , функция определяет объёмную (и массовую) плотность энергии деформируемой частицы в исходном состоянии. По мере развития деформации среднее напряжение возрастает, а функция (для упругой области деформации) остается неизменной. Однако если в произвольный момент t > 0 перейти к новым переменным Лагранжа, соответствующие изменения должны быть внесены и в функцию : она должна быть равна средним напряжениям Коши в энергетической шкале для текущего момента времени.

Зависимость среднего напряжения и объёмной плотности энергии следует также из представления мощности через напряжения Коши (3.11) с учетом соотношений (1.27) [13, 20].

Интерпретация среднего напряжения как объемной плотности энергии позволяет устанавливать соотношение между напряжениями и деформа-циями, например и ij, в конкретных условиях деформирования из условия сохранения механической энергии, как это показано для гидростатического сжатия и линейного растяжения в работах [13, 15, 20].


3.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ

Дифференциальные соотношения, которым должны удовлетворять уравнения движения (1.3) или (1.7) обычно получают на основе условий статики [1-8]. Однако аналогичные зависимости следуют из анализа энергетических изменений в окрестности деформируемой частицы. Так как приращение энергии du не должно зависеть от выбора системы отсчета скоростей, сумму последних трех слагаемых в уравнениях (3.5) или (3.6) следует приравнять нулю. Тогда основное дифференциальное соотношение принимает вид для уравнений движения (1.3)

xi,t = 0 (3.19)

и для уравнений движения (1.7)

xi,t () = 0 (3.20)

Можно показать, что полученные соотношения эквивалентны принципу наименьшего принуждения Гаусса [18].

Более жесткое условие равенства нулю каждой из скобок в уравнениях (3.6) и (3.8) соответствует хорошо известным дифференциальным уравнениям движения, записанным через напряжения Коши или Лагранжа

; , (3.21)

которые при отсутствии ускорений преобразуются в дифференциальные уравнения равновесия



; . (3.22)

Таким образом, чтобы найти закон движения в каждом конкретном случае, необходимо знать зависимость между напряжениями pi или и кинематическими характеристиками процесса, которые должны быть сформулированы в виде определяющих соотношений, например (3.13).

Так как выбор шкалы средних (нормальных) напряжений следует отнести к субъективным факторам, определение уравнений движения в форме Лагранжа (1.3) сводится к интегрированию уравнений (3.19) - (3.22), которые в новой энергетической шкале напряжений при отсутствии ускорений принимают вид

. (3.23)

Для определения функции можно воспользоваться экспериментальными исследованиями процессов деформации, близких к однородным, например одноосного растяжения или сдвига, и уравнением (3.14)



. (3.24)

Одно из основных достоинств соотношений (3.13) состоит в том, что уравнения равновесия (3.23) при = const или когда изменениями функции можно пренебречь, преобразуются в уравнения Лапласа в пространстве лагранжевых координат



. (3.25)

Методика интегрирования таких уравнений достаточно хорошо разработана и точность решения в основном зависит от погрешности граничных условий [15].

Соответствие полученных уравнений общепринятым и методика их применения при решении конкретных задач рассмотрены в следующих разделах.
3.6. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА

Определяющие уравнения (3.13) обеспечивают инвариантность приращения энергии для любых свойств среды и условий деформации, но они требуют дополнительной аргументации путем проверки их соответствия общепринятым.

Принято считать [6-9], что в области упругих деформаций для изотропных материалов пропорциональны компоненты шаровых тензоров и девиаторов, а коэффициенты пропорциональности характеризуют свойства материала и не зависят от выбора осей координат

; , (3.26)

где К - модуль объёмной упругости, G - модуль сдвига, которые можно определить через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона

K = ; G = . (3.26a)

Зависимости между напряжениями Коши и Лагранжа (3.7) и (3.8) позволяют строго математически перейти от уравнений (3.26) к уравнениям с напряжениями Лагранжа и обобщенными координатами (1.9)



, (3.27)

где - вектор перемещения, его проекции и их производные по переменным Эйлера, соответственно. Например, для напряжений px в направлении оси х:



+

;

+

+ ;



+

+ .

Переход от перемещений ui к координатам ui = xi - i с учетом производных от начальных координат i по переменным Эйлера xi

p,i = ; (3.28)

позволяет записать

ui,j = ij - i,j = ij - ; (3.28а)

Здесь индексы “j” и “p” должны быть согласованы по исходному состоянию:

ux,x= 1 - ; ux,y = - y = - ; ux,z= - z = - ;

uy,x= - x = ; uy,y= 1 - y = 1 - ; uy,z= - z = - ; (3.28b)

uz,x= - = - ; uz,y= - = - ; uz,z = 1 - = 1 - ,

где - алгебраические дополнения соответствующих элементов xi,p функционального определителя (1.22).

Соотношения (3.27) после подстановки этих результатов становятся еще более громоздкими. Если только деформации малы, а повороты отсутствуют, т.е. при деформации в главных осях, получаем

 = 3K (e - 1) ; . (3.27а)

Таким образом, для перехода к определяющим уравнениям с обобщенными координатами (1.9) и напряжениями pi непосредственное преобразование известных соотношений, используемых при описании процессов в форме Эйлера, не является целесообразным. Даже при полном соответствии уравнений (3.26) и (3.27) свойствам реальных материалов нельзя добиться высокой точности результатов вследствие математических трудностей, возникающих при решении получаемых систем уравнений.

Однако, если перейти к новой (энергетической) шкале напряжений и принять коэффициенты пропорциональности в уравнениях (3.27а) одинаковыми, они преобразуются в соотношения (3.13). Возможность такого перехода показана в разд. 3.7 - 3.8.
3.7. ОБЩИЙ ВИД ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ПРИ

ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМАЦИИ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА

Выбор определяющих соотношений относится к одному из наиболее сложных вопросов механики деформируемого твердого тела [8,17]. Все известные определяющие уравнения [6-8] можно рассматривать как условие пропорциональности инвариантов тензоров напряжений и деформаций или скоростей деформаций.

Как показано в разд. 2, в области упругих деформаций независимыми инвариантами можно считать экстремальные значения средней деформации (2.27а), обобщенную деформацию (2.29) и отношение объёмов частицы (2.23), изменения которых за бесконечно малое время dt могут быть выражены через текущие значения обобщенных координат. Например, для деформации при с учетом (2.34а) получаем



= +

+ ,

где правая часть зависит от обобщенных координат в фиксированной системе отсчета наблюдателя.

Принципиальных трудностей при выводе общих соотношений между напряжениями pi (или ) и характеристиками деформированного состояния, по аналогии с рассмотренными ниже, не возникает, но, в связи с громоздкостью получаемых выражений, они не приводятся.

В области упругих деформаций с достаточной точностью можно принять

d(ЕГa + ЕГb + ЕГc) = 3de ,

тогда (обозначение J1 сохранено за линейным инвариантом 2.20)

dJ0 = d(3e) = 3de = xi,p dxi,p/ep ; dJ2 = 2 xi,p dxi,p ; dJ3 = dxi,p . (3.29)

В сокращенных записях этого раздела при суммировании в правой части не следует учитывать индекс “р” у обобщенных деформаций ер. Уравнениям (3.29) соответствуют

dJ0 = 3de = (xp dxp + yp dyp + zp dzp)/ep = /e

++.

dJ2 = 2(+

+).

При обратимых деформациях приращение энергии (3.10) должно быть полным дифференциалом этих инвариантов и можно записать

du = pi dxi,p = . (3.30)

Приравнивая множители при одинаковых дифференциалах dxi,p, для напряжений Лагранжа получаем

pi = . (3.31)

Соотношения (3.8) устанавливают однозначную зависимость между напряжениями Коши и Лагранжа, тогда



= = . (3.32)

Произведение обобщённых координат и их алгебраических дополнений в третьем слагаемом принимает одно из двух значений



= R при i = j ; = 0 при i j , (3.33)

поэтому можно воспользоваться понятием единичной матрицы = Rij и окончательно получаем



= = , (3.32а)

где ij = 1 при i = j и ij = 0 при i j.

При средних напряжениях Коши

= , (3.34)

компоненты девиатора не зависят от производной и составляют:

нормальные напряжения

; (3.35а)

касательные напряжения (i j)



= . (3.35b)

Из этого следует, что производная от приращения энергии по третьему инварианту определяет выбор шкалы средних напряжений Коши и может быть отнесена к субъективным факторам.

Если принять = 0, тогда компоненты напряжений Лагранжа (3.31) можно представить в виде (без суммирования по индексу “р”)

pi = , (3.36)

а средние напряжения Коши определяются по уравнению

= . (3.37)

Для выполнения условия = 0 в исходном состоянии, когда e = R = 1, J2 = 3, достаточно принять



= - 2 . (3.38)

В условиях гидростатического нагружения R = e3, J2 = 3e2 и уравнение (3.37) практически совпадает с законом упругого изменения объёма (3.26) при 2 = - = 3К, где К - модуль объёмной упругости (см. 3.26а).

Так как отношения xi,pp совпадают с направляющими косинусами ребер параллелепипеда (см. разд. 2), из уравнения (3.25) следует, что выражение

tp = , (3.39)

определяет полное напряжение на грани с фиксированной координатой p

tp2 = px2 + py2 + p;z2 . (3.40)

Его направление совпадает с направлением ребра, ортогонального этой грани в исходном состоянии, а компонентами, в соответствии с (3.36), будут

; ; ;

; ; ; (3.41)

; ; ,

или, в сокращенной записи (без суммирования по индексу “р”)

pi = tp xi,pp . (3.41а)

В последующих разделах будут рассмотрены более общие случаи, когда направление полного напряжения Лагранжа tp предполагается произволь-ным. Поэтому введем дополнительно обозначение для проекции полного напряжения на направление соответствующего ребра (суммирование в правой части только по индексу “i”)


следующая страница >>