Выпускная работа по «Основам информационных технологий» на тему «Применение информационных технологий в решении нелинейных уравнений - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Выпускная работа по «Основам информационных технологий» 1 368.13kb.
Выпускная работа по «Основам информационных технологий» Магистрантка... 1 247.67kb.
Выпускная работа по «Основам информационных технологий» Магистранта... 1 169.61kb.
Выпускная работа по «Основам информационных технологий» 6 316.68kb.
Выпускная работа по «Основам информационных технологий» 3 445.95kb.
Выпускная работа по «Основам информационных технологий» 1 151.62kb.
Выпускная работа по «Основам информационных технологий» 1 185.35kb.
Выпускная работа по «Основам информационных технологий» 1 327.94kb.
Выпускная работа по «Основам информационных технологий» Магистранта... 1 324.29kb.
Реферат на тему: перспективы использования информационных технологий... 1 266.44kb.
«Применение информационных технологий в разработке системы сбалансированных... 1 129.45kb.
Sos!!! Спасите наши души!!! sos!! 1 47.65kb.
Публичный отчет о деятельности моу кассельская сош 2 737.71kb.
Выпускная работа по «Основам информационных технологий» на тему «Применение информационных - страница №1/2



БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


Выпускная работа по
«Основам информационных технологий»


на тему

«Применение информационных технологий

в решении нелинейных уравнений

методом последовательных приближений.»

Магистрант

кафедры математических методов

теории управления

Короц Юлия Владимировна

Руководители:

профессор, доктор физ-мат наук

Забрейко Петр Петрович

доцент Кожич Павел Павлович


Минск – 2007 г.

Оглавление





Оглавление 2

Список обозначений ко всей выпускной работе 2

Реферат « Применение информационных технологий в решении нелинейных уравнений методом последовательных приближений.» 3

Введение. 3

Глава 1. Обзор математических пакетов. 4


1.1. Mathcad 4


1.2. Maple 5

1.3. МАТLAB 6

1.4. Mathematica 7

1.5. Какой пакет использовать для исследований разрешимости нелинейных уравнений? 8

Глава 2. Методика исследований. 9

2.1. Теоретические выкладки. 9

2.2. Исследование 1. 10

2.2. Исследование 2. 11

Глава 3. Инструменты для работы над математическим текстом. 13

Глава 4. Основные результаты и их обсуждение. 14



Заключение. 15

Список литературы к реферату 16

Предметный указатель к реферату. 17

Интернет ресурсы в предметной области исследования. 17

Действующий личный сайт 19

http://www.julietta-mmf.narod.ru 19

Граф научных интересов 20

Презентация магистерской диссертации. 22

Список литературы к выпускной работе. 23

Приложения 24

Презентация 24

Код реализации метода Ньютона в системе Mathematica 26

Список обозначений ко всей выпускной работе


IT – информационные технологии

М.п.п. – метод последовательных приближений

Реферат « Применение информационных технологий в решении нелинейных уравнений методом последовательных приближений.»

Введение.


Стремительное развитие информационных технологий уже подготовило основу для устранения естественного разрыва между фундаментальными знаниями и их применением на практике.

Современные информационные технологии все шире внедряются в сферу науки, обеспечивая принципиально новый уровень получения обобщения знаний, их распространения и использования.

В результате применения новых технологий легко достигаются следующие цели:

- увеличивается число рассматриваемых задач (благодаря сокращению числа рутинных преобразований);

- исследуются более сложные модели, так как громоздкие вычисления переданы соответствующим компьютерным системам исследуемой области;

- больше внимания уделяется качественным аспектам;

- исчезает страх при работе с громоздкими выкладками и приобретается уверенность в символьных вычислениях;

- прививается вкус к анализу результатов;

- вырабатываются устойчивые практические навыки проведения проведения математических рассуждений.

Очевидно важное место информационных технологий (ИТ) (в частности, систем компьютерной математики) и их развития в свете все более усложняющихся математических моделей и соответственно различных нелинейных операторных уравнений.

Процессе исследования разрешимости нелинейных уравнений, исследования применимости методов последовательных приближений часто приводит к задачам линейной алгебры. В отличие от других вычислительных задач, задачи линейной алгебры на первый взгляд представляются простыми. Однако эта простота обманчива. Например, вычисление решения линейной алгебраической системы с квадратной неособенной матрицей теоретически можно осуществить по правилу Крамера. В то же время практическое применение этого правила к системам высокого порядка нецелесообразно или даже невозможно, так как требует выполнения чрезмерного большого числа арифметических действий. Большое значение также имеет тот факт, что при вычислениях арифметические операции выполняются с погрешностями округлений, которые оказывают сильное влияние на окончательный результат.

Осознанию трудностей решения задач линейной алгебры способствовало появление быстродействующих ЭВМ, которые позволили решать задачи линейной алгебры достаточно большой размерности. Это вызвало бурное развитие вычислительных методов линейной алгебры, которые в настоящее время можно считать наиболее разработанным разделом методов вычислений.

Однако зачастую получаемый результат зависит от выбранного пути решения чисто математической задачи, поэтому представляется интересным проанализировать применение того или иного математического пакета к решению конкретной теоретической проблемы.

В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные и популярные системы компьютерной математики, проанализирована эффективность их применения в предметной области, будет детально рассмотрен пример решения конкретной задачи с помощью выбранной системы, а также будут рассмотрены наиболее удобные инструменты для работы над текстом диссертации.


Глава 1. Обзор математических пакетов.


Для автоматизации математических, инженерно-технических и научных расчётов используются разнообразные вычислительные средства – от программируемых микрокалькуляторов до сверхмощных суперЭВМ. И, тем не менее, такие расчёты для многих остаются сложным делом. Более того, применение компьютеров для расчётов внесло новые трудности: прежде чем начать расчёты, пользователь должен освоить азы алгоритмизации, изучить один или несколько языков программирования, а также численные методы расчётов.
Положение cущественно изменилось после выпуска специализированных программных комплексов для автоматизации математических и инженерно-технических расчётов.

К таким комплексам относятся пакеты программ Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive и др.



1.1. Mathcad


Mathcad является интегрированной системой решения математических, инженерно-технических и научных задач. Он содержит текстовый и формульный редактор, вычислитель, средства научной и деловой графики, а также огромную базу справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в виде встроенного в Mathcad справочника, справочной системы, основанной на технологии Mathcad Calculation Server, комплекта электронных книг и обычных «бумажных» книг, в том числе и на русском языке.

Текстовый редактор служит для ввода и редактирования текстов. Тексты являются комментариями, и входящие в них математические выражения не выполняются. Текст может состоять из слов, математических символов, выражений и формул.

Формульный процессор обеспечивает естественный «многоэтажный» набор формул в привычной математической нотации (деление, умножение, квадратный корень, интеграл, сумма и т.д.). Последняя версия Mathcad полностью поддерживает буквы кириллицы в комментариях, формулах и на графиках.

Вычислитель обеспечивает вычисление по сложным математическим формулам, имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, интегралы, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, а также дифференциальные уравнения и системы, проводить минимизацию и максимизацию функций, выполнять векторные и матричные операции, статистический анализ и т.д.

Можно легко менять разрядность и базу чисел (двоичная, восьмеричная, десятеричная и шестнадцатеричная), а также погрешность итерационных методов. Автоматически ведётся контроль размерностей и пересчёт в разных системах измерения.

В Mathcad встроены средства символьной математики, позволяющие решать задачи через компьютерные аналитические преобразования.

Графический процессор служит для создания графиков и диаграмм. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями средств деловой и научной графики. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение вида и размера графиков, наложение на них текстовых надписей и перемещение их в любое место документа.

Mathcad является универсальной системой, т.е. может использоваться в любой области науки и техники – везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе Mathcad на языке, очень близком к стандартному языку математических расчётов, упрощает постановку и решение задач.

Mathcad интегрирован со всеми другими компьютерными системами счёта.

Mathcad позволяет легко решать такие задачи как:



  • ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчётов или создания документов, презентаций, Web-страниц или электронных и обычных «бумажных» книг);

  • проведение математических расчётов (как аналитических, так и при помощи численных методов);

  • подготовка графиков (как двумерных, так и трёхмерных) с результатами расчётов;

  • ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;

  • подготовка отчетов работы в виде печатных документов;

  • подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;

  • получение различной справочной информации и многие другие задачи.

Mathcad создает удобную вычислительную среду для самых разнообразных математических расчётов и документирования результатов работы в рамках утверждённых стандартов.

1.2. Maple


Система Maple предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный язык программирования, частично подобный Паскалю.

Maple — система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей. До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры, Ито указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она уже способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов. Maple — тщательно и всесторонне продуманная система компьютерной математики. Она с равным успехом может использоваться как для простых, так и для самых сложных вычислений и выкладок. Ядро системы Maple используется в ряде других математических систем, например в MATLAB и Mathcad, для реализации в них символьных вычислений.

Maple — типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:


  •  мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);

  •  редактор для подготовки и редактирования документов и программ;

  •  современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;

  •  мощную справочную систему со многими тысячами примеров;

  •  ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;

  •  численный и символьный процессоры;

  •  систему диагностики;

  •  библиотеки встроенных и дополнительных функций;

  •  пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Ко всем этим средствам имеется полный доступ прямо из программы. Maple — одна из самых мощных и «разумных» интегрированных систем символьной математики, созданная фирмой Waterloo Maple, Inc. (Канада).

Не случайно ядро системы Maple V используется целым рядом других мощных систем компьютерной математики, например системами класса Mathcad и MATLAB.


1.3. МАТLAB


МАТLAB - это высокопроизводительный язык для технических рассчетов. Он включает в себя вычисления, визуализацию и программирование в удобной среде, где задачи и решения выражаются в форме, близкой к математической. Типичное использование МАТLAB – это:

- математические вычисления

- создание алгоритмов

- моделирование

- анализ данных, исследования и визуализация

- научная и инженерная графика

- разработка приложений, включая создание графического интерфейса пользователя.

МАLAB – это интерактивная система, в которой основным элементом данных является массив. Это позволяет решать различные задачи, связанные с техническими вычислениями, особенно в которых используюся матрицы и вектора, в несколько раз быстрее, чем при написании программ с использованием «скалярных язаков программирования, таких как Си или Фортран.

Слово МАТLABозначает матричная лабаратолия (matrix laboratory), что свидетельствует о том, что МАТLAB был специально разработан для матричных вычислений.

Говоря о МАТLAB, нельзя не сказать о Simulink. Simulink, сопутствующая MATLAB программа, - это интерактивная система для моделирования нелинейных динамических систем. Она представляет собой среду, управляемую мышью, которая позволяет моделирвать процесс путем перетаскивания блоков диаграмм на экране и их манипуляций. Simulink работает с линейными, нелинейными, непрерывными, дискретными, многомерными системами.

Возникает вопрос о сравнении Maple и Matlab, так как ядро работы с символьными переменными из Maple используется в Matlab. Maple и MATLAB - принципиально разные пакеты. У них есть пересечение в символьной математике, а именно: MATLAB имеет расширение Maple, но на этом сходство заканчивается. Maple - чисто математический пакет, а MATLAB - это язык, на котором разговаривают ученые на международных симпозиумах, т. к. MATLAB используется и математиками, и химиками, и биологами, и многими, многими другими специалистами.

1.4. Mathematica


Mathematica — система компьютерной алгебры компании Wolfram Research. Содержит множество функций как для аналитических преобразований, так и для численных расчётов. Кроме того, программа поддерживает работу с графикой и звуком, включая построение дву- и трёхмерных графиков функций, рисование произвольных геометрических фигур, импорт и экспорт изображений и звука.

Mathematica объединяет в единое целое числовое и символьное вычислительное ядро, графическую систему, язык программирования, систему документации и возможность взаимодействия с другими приложениями. Mathematica имеет несколько основных особенностей и предназначена для решения широкого спектра задач. Вот некоторые классы задач, решаемых с помощью Mathematica:



Аналитические преобразования

  • Решение систем полиномиальных и тригонометрических уравнений и неравенств, а также трансцендентных уравнений, сводящихся к ним.

  • Решение рекуррентных уравнений.

  • Упрощение выражения.

  • Нахождение пределов.

  • Интегрирование и дифференцирование функций.

  • Нахождение конечных и бесконечных сумм и произведений.

  • Решение дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

  • Преобразования Фурье и Лапласа, а также Z-преобразование

  • Преобразование функции в ряд Тейлора, операции с рядами Тейлора: сложение (математика), умножение, композиция, получение обратной функции и т. д.

Численные расчёты

  • Вычисление значений функций, в том числе специальных, с произвольной точностью.

  • Решение систем уравнений

  • Нахождение пределов

  • Интегрирование и дифференцирование

  • Нахождение сумм и произведений

  • Решение дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных

  • Полиномиальная интерполяция функции от произвольного числа аргументов по набору известных значений

  • Преобразования Фурье и Лапласа, а также Z-преобразование

Теория чисел

  • Определение простого числа по его порядковому номеру, определение количества простых чисел, не превосходящих данное.

  • Дискретное преобразование Фурье

  • Разложение числа на простые множители, нахождение НОД и НОК.

Линейная алгебра

  • Операции с матрицами: сложение, умножение, нахождение обратной матрицы, умножение на вектор, получение определителя.

  • Поиск собственных значений и собственных векторов.

Графика и звук

  • Построение графиков функций, в том числе параметрических кривых и поверхностей.

  • Построение геометрических фигур: ломаных, кругов, прямоугольников, и т. д.

  • Воспроизведение звука, график которого задаётся аналитической функцией или набором точек.

  • Импорт и экспорт графики во многих растровых и векторных форматах, а также звука.

Кроме того, это интерпретируемый язык функционального программирования. Можно сказать, что система Mathematica написана на языке Mathematica, хотя некоторые функции, особенно относящиеся к линейной алгебре, в целях оптимизации были написаны на языке C.

1.5. Какой пакет использовать для исследований разрешимости нелинейных уравнений?

Анализируя возможности, специфику, достоинства и недостатки каждого из вышерассмотренных уравнений математических пакетов, можно сказать, что пакет Mathematica наиболее универсален, а значит, и удобен. Действительно, для всей среды Mathematica нет единственного конкурента. Вообще говоря, конкуренты делятся на следующие группы: численные пакеты, системы компьютерной алгебры, приложения для набора текста и подготовки документации, графические и статистические системы, традиционные языки программирования (средства разработки интерфейсов) и электронные таблицы. С тех пор, как Mathematica впервые появилась, другие математические пакеты существенно расширили спектр собственных возможностей, первоначально они предназначались для решения задач, относящихся лишь к одной или двум вышеперечисленным категориям. Например, системы компьютерной алгебры научились решать задачи численно. Несмотря на это, Mathematica уникальна, потому что она неизменно объединяет все эти возможности.

В частности, исследуя разрешимость нелинейных уравнений, которые зачастую тем или иным методом аппроксимируются некоторой вспомогательной линейной задачей, приходишь к выводу, что использование системы Mathematica наиболее уместно для исследований, так как этот пакет сконструирован Wolfram Research как система компьютерной алгебры, что влечет наличие сильной алгебраической основы в пакете, в то время как, например, пакет MatLab скорее предназначен для оперирования громоздкими матрицами.


следующая страница >>