Vii. Вероятности случайных событий - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Dhcp-клиент. Отвечает за автоматическое распределение ip-адресов. 1 14.51kb.
• определять место исторических событий во времени, объяснять смысл... 3 553.39kb.
4. Бизнес-план базируется на совокупностях независимых событий, цепочках... 1 209.27kb.
Сглаживание и аналитическое выравнивание временных рядов. Фильтры... 1 25.28kb.
Программа профилактики венерических заболеваний среди подростков... 1 49.23kb.
В центре города стояло изваяние-храм. Храм самому великому из повелителей... 3 459.37kb.
Vii система внутришкольного контроля 1 110.08kb.
Рабочая программа по биологии для 8 «Б» класса VII вида на 2013-2014... 1 398.44kb.
Задания на уроках литературы в VII классе 2 425.3kb.
Сделать расчёт цепной передачи. Крутящий момент на ведомой звёздочке... 1 63.85kb.
Курс «География Земли» рассчитан на два года изучения: в VI и VII... 1 337.67kb.
Курсовая работа на тему 1 481.56kb.
Публичный отчет о деятельности моу кассельская сош 2 737.71kb.
Vii. Вероятности случайных событий - страница №1/2

Глава VII. Вероятности случайных событий.

Сложение и умножение вероятностей
Мы обсуждаем случайные опыты. Напомним, что случайный опыт оканчивается каким-либо одним элементарным событием. Какое именно элементарное событие наступит в данном опыте — дело случая. Два разных элементарных события одновременно произойти не могут.

В случайных опытах мы можем рассматривать самые разные события, не только элементарные. Случайное событие или просто событие—это некоторое множество (набор, совокупность) элементарных событий.

Можно сказать, что всякое случайное событие А состоит из элементарных событий. Эти элементарные события называют благоприятствующими случайному событию А.

Случайное событие А наступает, когда происходит какое-либо элементарное событие, благоприятствующее событию А. Если ни одно из благоприятствующих событий не произошло, то не произошло и событие А.

Случайные события можно различным способом сочетать друг с другом. При этом образуются новые случайные события. Мы обсудим три наиболее употребительных действия с событиями. К ним часто приходится обращаться при вычислении вероятностей.

32. Противоположное событие. Диаграммы Эйлера
Рассмотрим какое-либо событие А. Как и всякому событию, ему благоприятствуют некоторые элементарные события. Рассмотрим теперь все прочие элементарные события этого опыта, т. е. те, которые не благоприятствуют событию А. Соберем эти элементарные события вместе. Так мы получим новое событие. Оно состоит из тех элементарных событий, которые не благоприятствуют событию А. Это событие называется событием, противоположным событию А.
Событием, противоположным событию А, называют событие, которому благоприятствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию А.

Событие, противоположное событию А, обозначают .

Если событие В противоположно событию А, т. е. В = , то
событие А противоположно событию В: А = . Поэтому события А и называют взаимно противоположными или дополнениями друг для друга.

Пример 1. Бросают игральную кость. Рассмотрим событие А «выпало число, большее 4». Этому событию благоприятствуют элементарные события «выпала пятерка» и «выпала шестерка». Не благоприятствуют событию А следующие элементарные события: «выпала единица», «выпала двойка», «выпала тройка», «выпала четверка» (рис. 1). Для события А противоположным событием является событие «выпало число, меньшее или равное четырем».



Рис. 1
Взаимно противоположные события одновременно произойти не могут, но какое - либо из них происходит обязательно. Поэтому

Р(А)+Р()= 1.

Иными словами, сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна единице.

Следовательно,

Р()=1- Р(А) и Р(А)=1- Р()

Из этих формул следует, что для вычисления Р(А) достаточно знать Р(). Это свойство во многих случаях оказывается полезным.



Пример 2. Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей на них выпадет разное (не одинаковое) число очков?
Решение. Обозначим описанное событие А. Противоположным событием является событие , состоящее в том, что на обеих костях выпало одинаковое число очков. Событию А благоприятствуют шесть элементарных событий:

(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6).

Вероятность каждого из этих элементарных событий, как мы знаем, равна . Следовательно,

Тогда .

Соотношения и связи между событиями можно изобразить с помощью схематических рисунков. Такие рисунки называются диаграммами Эйлера.

Пусть прямоугольник изображает все элементарные события. Событие А изобразим в виде круга внутри прямоугольника. В этом случае оставшаяся часть прямоугольника изображает событие , противоположное событию А.

На рис. 2 с помощью диаграмм Эйлера изображены два события: событие А и противоположное событие .



Рис. 2
Если нужно изобразить несколько событий, то рисуют несколько фигур — по одной для каждого события. При этом фигуры могут располагаться по-разному, показывая, как связаны между собой данные события.





В этом пункте говорилось о том, что такое противоположные события. Еще мы узнали о том, как можно изображать события с помощью диаграмм Эйлера.

Вопросы

1. Что такое противоположные события?


2. Обязательно ли события на диаграммах Эйлера изображаются кругами?

3. Опишите словами свойство вероятностей противоположных событий.



Упражнения
1. В случайном эксперименте 20 элементарных событий. Событию А благоприятствуют 12 из них. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию ?

2. В некотором случайном опыте может произойти событие К. Найдите вероятность события , если вероятность события К равна:


а) 0,4; б) 0,85; в) 0,13; г) ; д) р. Какие значения может принимать р?
3. а) Докажите, что события А и В не могут быть противоположными, если
Р(А) = 0,7, а Р(В) = 0,44.
б) вероятность события А равна 0,3, а вероятность события В равна 0,7. Обязательно ли события А и В взаимно противоположны?
4. Могут ли быть противоположными события С и D, если:

а) Р(С) = 0,12; Р(D) = 0,78;

б) Р(С) = 0,14; Р(D) = 0,86;
в) Р(С) = ; Р(D) = , где >0, >0;
г) Р(С) = ; Р(D) = , где ;
д) Р(С) = ; Р(D) = , где ;

е)* Р(С) =; Р(D) = ,где а >0, b

5. Бросают одну игральную кость. Событие А состоит в том, что:

а) выпала шестерка;


б) выпало четное число очков;
в) выпало число очков, кратное трем.

Для каждого случая перечислите элементарные события, благоприятствующие событию , опишите событие словами и найдите Р().


6. Бросают две игральные кости. Событие А состоит в том, что в сумме на них выпало:


а) 2 очка; б) 12 очков; в) менее 4 очков; г) более 10 очков.
Для каждого случая опишите событие словами и найдите Р().

7. В классе 15 мальчиков и 10 девочек. Из класса случайным образом выбирают одного ученика. Событие D — «выбрана девочка».

а) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию D?
б) Чему равна вероятность события D?
в) Опишите словами событие .
г) Чему равна вероятность Р()?

8. Симметричную монету бросили 4 раза. Орел при этом может выпасть


1, 2, 3 или 4 раза, а может не выпасть ни разу. Вероятности этих событий
представлены в таблице:



Число выпадений орла

0

1

2

3

4

Вероятность











Найдите вероятность события, противоположного событию:

а) «орел не выпал ни разу»;


б) «орел выпал более одного раза»;
в) «решка выпала менее трех раз»;
г) «орел выпал неизвестно сколько раз, но точно не 2 раза».

9*. Из класса выбирают двух учеников. Опишите словами событие , если событие В состоит в том, что:

а) оба выбранных ученика — мальчики;
б) выбраны ученики одного пола.

10*. В люстре пять новых лампочек. Событие А состоит в том, что в течение года:

а) перегорит хотя бы одна из них;
б) перегорит ровно две лампочки;
в) перегорит более трех лампочек;
г) перегорит меньше четырех лампочек.

Для каждого из этих событий опишите словами событие .

11*. На диаграмме Эйлера (рис. 3) изображены события А и В. Нарисуйте диаграмму в тетради и выделите на ней событие D, которое состоит в том, что:

а) событие А наступило, а В — нет;


б) событие В наступило, а А — нет;
в) наступило событие ;
д) наступило событие .


Рис. 3

33. Объединение событий
Пусть А и В—два события, относящиеся к одному случайному опыту. Рассмотрим те элементарные события, которые благоприятствуют событию А, и те элементарные события, которые благоприятствуют событию В. Все вместе эти элементарные события благоприятствуют новому событию. Это новое событие называют объединением событий А и В. Его обозначают .

Событие наступает, если наступает хотя бы одно из событий А и В. Это означает, что наступает либо А, либо В, либо А и В вместе.



Пример 1. Продавщица выбирает два костюма, для того чтобы поместить их в витрину магазина. В ассортименте есть черные (Ч) и синие (С) костюмы. Элементарные события этого случайного опыта представляют собой пары костюмов, которые мы можем условно обозначить парами букв, указывающих цвета выбранных костюмов:

ЧС, ЧЧ, СС и СЧ.

Событие А состоит в том, что первый костюм черного цвета. Этому событию благоприятствуют элементарные события

ЧС и ЧЧ.


Событие В наступает, если второй костюм черного цвета; ему благоприятствуют элементарные события

СЧ и ЧЧ.


Объединению событий в этом случае благоприятствуют элементарные события, благоприятствующие хотя бы одному из двух событий А и В, т. е. элементарные события

ЧС, ЧЧ и СЧ.

Событие состоит в том, что хотя бы один из костюмов черного цвета. Формулировка объединения двух событий часто включает в себя слова «хотя бы».

Пример 2. Игральную кость бросают дважды. Событие А состоит в том, что в первый раз выпало больше очков, чем во второй. Событие В состоит в том, что во второй раз выпало больше очков, чем в первый.

Тогда событие заключается в том, что либо в первый раз выпало больше, чем во второй, либо во второй раз больше, чем в первый. Иными словами, событие наступает, если при двух бросаниях кости выпали не равные числа очков. В известной нам таблице элементарных событий такого эксперимента событию благоприятствуют все элементарные события, кроме элементарных событий, стоящих на диагонали. На рисунке благоприятствующие элементарные события выделены.



На диаграмме Эйлера (рис. 4) показаны события А, В и их объединение . Левый круг изображает событие А, правый круг—событие В, а выделенная фигура, включающая в себя оба круга, — это событие .





Рис. 4

Точно так же, добавив еще круги, можно изобразить объединение трех, четырех и более событий.







Мы узнали, что такое объединение событий и как объединение изображается на диаграмме Эйлера.


Вопросы

1. Что такое объединение событий?

2. Первое событие—«Миша ободрал левую коленку». Второе событие— «Миша ободрал правую коленку». Опишите словами объединение этих событий.

3. Событие В является объединением противоположных событий А и . Какова вероятность события В?




Упражнения
1. На диаграмме Эйлера (рис.5) изображены события А и В. В кругах, изображающих эти события, написано число благоприятствующих каждому событию элементарных событий. Сделайте рисунок в тетради и заштрихуйте событие . Сколько элементарных событий благоприятствует этому событию?




Рис. 5

2. Событию U в ходе некоторого опыта благоприятствуют 5 элементарных событий. Событию V благоприятствуют 8 элементарных событий. Из этих 8 элементарных событий ни одно не благоприятствует событию U. Сколько элементарных событий благоприятствует событию ?

3. Событию А благоприятствуют 6 элементарных событий, а событию В— 8 элементарных событий. Из этих 8 элементарных событий 4 благоприятствуют сразу двум событиям. Нарисуйте диаграмму Эйлера и ответьте на вопросы.

а) Сколько элементарных событий благоприятствует событию А, но не благоприятствуют событию В?


б) Сколько элементарных событий благоприятствует событию В, но не благоприятствует событию А?
в) Сколько элементарных событий благоприятствует событию ?

4. Монету бросают дважды. Событие А — «первый раз выпал орел». Событие В — «второй раз выпал орел». Выпишите элементарные события, благоприятствующие каждому из этих событий и событию .

5. Монету бросают дважды. Представьте в виде объединения двух событий событие:

а) «хотя бы один раз выпала решка»;

б) «оба раза выпала одна и та же сторона монеты».

6. На диаграмме Эйлера (рис. 6) изображены события А и В. Нарисуйте диаграмму в тетради и укажите на ней событие С, которое состоит в том, что:

а) событие А наступило, а В — нет;
б) событие В наступило, а А — нет;
в) наступило хотя бы одно из событий А и В;
г) не наступило ни одно из событий А и В;
д) наступили оба события.

Какое из событий пунктов а) — д) является событием ? Какое из событий пунктов а) — д) является событием ?




Рис. 6

7. Бросают одну игральную кость. Событие А— «выпало четное число очков». Событие В состоит в том, что:

а) выпало число очков, кратное 3;
б) выпало нечетное число очков;
в) выпало число очков, кратное 4;
г) выпало число очков, кратное 5.

Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событию . Найдите Р().

8. На диаграмме Эйлера (рис. 7) изображены события А и В. В кругах, изображающих эти события, написано число благоприятствующих каждому событию элементарных событий. Всего в опыте 60 различных элементарных событий.



Рис. 7

а) Сколько элементарных событий благоприятствует событию ?

б) Сколько элементарных событий благоприятствует событию ?

в)* Сколько элементарных событий благоприятствует событию ?

г)* Сколько элементарных событий благоприятствует событию ?

9. Бросают две игральные кости. Событие А — «на первой кости выпала 1». Событие В — «на второй кости выпала 1».

а) Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событию
.
б) Есть ли у событий А и В общие благоприятствующие элементарные события? Если да, то сколько их?
в) Опишите словами событие .
г) Найдите вероятность события .

10. Бросают две игральные кости. Событие К — «на первой кости выпало число очков, кратное 3». Событие L — «на второй кости выпало число очков, кратное 3».

а) Выделите цветом элементарные события, благоприятствующие событиям К и L в таблице элементарных событий;
б) Есть ли у событий К и L общие благоприятствующие элементарные события? Если да, то сколько их?
в) Опишите словами событие .
г) Найдите вероятность события .

11. Бросают две игральные кости. Событие К — «на первой кости выпало четное число очков». Событие L — «на второй кости выпало четное число очков».

а) Выделите в таблице элементарных событий этого опыта элементарные события, благоприятствующие событиям К и L .
б) Есть ли у событий К и L общие благоприятствующие элементарные события? Если да, то сколько их?
в) Опишите словами событие .
г) Найдите вероятность события .

12*. Докажите, что для любых событий А и В верно, что Р() ≥ Р(А) и Р() ≥ Р(В).

13*. На диаграмме Эйлера на рис. 8 показаны события А, В и С. Нарисуйте диаграммы, изображающие событие:
а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .




Рис. 8

34. Пересечение событий
Возьмем два события А и В. Предположим, что есть элементарные события, благоприятствующие и событию А, и событию В. Взяв все элементарные события, которые благоприятствуют и событию А, и событию В, мы получим новое событие. Это новое событие называют пересечением событий А и В. Его обозначают .

Событие наступает, если наступают оба события А и В.

Если события А и В не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта. Такие события называют несовместными, а их пересечение — пустое событие. Оно обозначается символом Ø. Можно написать Ø.

Вероятность пересечения несовместных событий равна 0:



Р() = Р(Ø) = 0.

Пример 1. Вернемся к продавщице, выбирающей два костюма для витрины. Напомним все элементарные события этого опыта:

ЧС, ЧЧ, СС и СЧ.

Пусть событие А, как и прежде, состоит в том, что первый костюм черного цвета. Этому событию благоприятствуют элементы

ЧС и ЧЧ.


Событие В «второй костюм черного цвета» наступает при элементарных событиях

СЧ и ЧЧ.


Пересечению событий благоприятствует единственное элементарное событие ЧЧ.

Событие состоит в том, что оба костюма черного цвета.



Пример 2. События «8 марта приходится на пятницу» и «8 марта приходится на субботу» являются несовместными в одном и том же году.

Пример 3. Бросают две игральные кости. Событие А — на первой кости
выпало меньше 3 очков. Событие В—на второй кости выпало меньше 3 очков.

Тогда событие заключается в том, что на каждой кости выпало меньше 3 очков.




Событие можно изобразить на диаграмме Эйлера. Чтобы изобразить это событие, нужно заштриховать общую часть фигур, изображающих события А и В (рис. 9).



Рис. 9

Добавив еще круги, можно заштриховать фигуру, изображающую пересечение трех или более событий.










Этот пункт посвящен рассказу о том, что такое пересечение событий у как его изобразить на диаграмме Эйлера.

следующая страница >>