«Теорема Виета и её применение» - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
«Теорема Виета и её применение» - страница №2/2


Ответ: .

3.Рекомендации для «решающих».

  1. Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами, советуем разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра а=1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра а=1 искомым для данной задачи. Отметим, что подстановка фиксированного значения параметра позволяет во многих случаях нащупать путь решения задачи.

  2. При решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться геометрическими интерпретациями. Если изобразить графики функций, входящих в левые и правые части рассматриваемых уравнений, то тогда точки пересечения графиков будут соответствовать решениям уравнения, а число точек пересечения- числу решений. Аналогично, при решении систем уравнений или неравенств можно изобразить геометрические места точек плоскости, удовлетворяющих рассматриваемым уравнениям или неравенствам. Это часто позволяет существенно упростить анализ задач, а в ряде случаев представляет собой единственный “ключ” к решению.

  3. Решение многих задач с параметрами требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным условиям расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.

  4. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы “ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения. Также рекомендуем прежде, чем записывать ответ, еще раз внимательно прочитать условие задачи и четко уяснить, что именно спрашивается.

  5. Для того, чтобы освоить приемы решения задач с параметрами, необходимо внимательно разобрать приведенные примеры решения таких задач и постараться прорешать как можно больше задач для самостоятельного решения.

III. Обратная теорема Виета. Решение задач с использованием компьютерного программирования

Если числа b, c, , таковы, что , , то и - корни уравнения .

Доказательство: Подставим в левую часть вместо b выражение , а вместо с произведение .

Получим:


Таким образом, если числа b, c, и связаны указанными соотношениями, то при всех х выполняется равенство , из которого следует, что и - корни уравнения.

Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения.

Для нахождения коэффициентов приведенного квадратного уравнения можно написать программу, используя язык визуального объектно-ориентированного программирования Visual Basic.

В объектно-ориентированном программировании основным понятием является объект. Объект –это совокупность взаимосвязанных полей и методов, существующих как единое целое.

Объектно-ориентированное программирование – это методология программирования, которая основана на представлении программы в виде совокупности объектов. Процесс разработки программы в среде визуального объектно-ориентированного программирования сводится к выбору набора объектов и их свойств, заданию событий и процедур их обработки, которые в совокупности обеспечивают решение поставленной задачи.

Цель программы: вычисление коэффициентов b и c по заданным корням.

Набор управляющих элементов (выполняют определенные, уже запрограммированные функции): Label, TextBox, CommandButton.

Значения корней Х1 и Х2 будем вводить в текстовые поля, которые названы kor1и kor2, а выводится коэффициенты будут в текстовых полях txtB и txtC, которые получаются в результате событийных процедур


  1. Находим коэффициент B

Private Sub kofb_Click()

txtB = -kor1 - kor2

End Sub


  1. Находим коэффициент С

Private Sub kofc_Click()

txtC = kor1 * kor2

End Sub

Запускаем проект. Для ввода корней устанавливаем курсив в текстовых полях «kor1» и «kor2» и вводим корни. Вывод коэффициентов произойдет после щелчка по кнопке «В=», а затем по кнопке «С=». (программа находится в папке «программа Виет»).



Заключение

Теорема Виета позволяет не только устно решать квадратные уравнения, но находить решение непростых алгебраических задач, позволяет сделать решение лаконичным и сэкономить время. С помощью обратной теоремы Виета можно всегда сделать проверку решения квадратного уравнения.



Теорема Виета
для корней
квадратного уравнения

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни — и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда —



В числителе Ь, в знаменателе а.

Приложение

Тренировочные упражнения

Задание 1. Решите приведенное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета.

1. 6. 11. 16. 2. 7. 12. 17. 3. 8. 13. 18. 4. 9. 14. 19. 5. 10. 15. 20. Задание 2. Решите полное квадратное уравнение с помощью перехода к вспомогательному приведенному квадратному уравнению.

1. 6. 11. 16. 2. 7. 12. 17. 3. 8. 13. 18. 4. 9. 14. 19. 5. 10. 15. 20. Задание 3. Решите квадратное уравнение с помощью свойства .

1. 6. 11. 16. 2. 7. 12. 17. 3. 8. 13. 18. 4. 9. 14. 19. 5. 10. 15. 20. Задания с параметрами

  1. Пусть и - корни уравнения . Вычислите .

  2. При каких значениях а уравнение имеет два различных действительных корня и , удовлетворяющих неравенству ?

  3. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения принимает наибольшее значение?

  4. При каких а разность корней уравнения равна их произведению?

  5. При каких значениях а уравнение имеет два действительных различных корня и , удовлетворяющих неравенству ?

  6. Вычислить сумму корней уравнения и найти значения а , при которых она принимает наибольшее значение.

  7. На координатной плоскости (p;q) найдите множество точек, для которых уравнение имеет два таких вещественных корня и , что .

  8. Найдите наименьшие значения выражения , если и -корни уравнения .

  9. Найти отрицательные корни уравнения .

  10. Найдите все значения параметра k, при которых система уравнений

имеет решения.



  1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.



Ответы к заданиям с параметрами:

1. ; 2. или ; 3. a=2; 4. a=2; 5. или ; 6. a=1 или a=2. Указание. Т.к. корни данного уравнения существуют при условии , то задача сводится к поиску таких значений параметра, при которых функция принимает наибольшее значение на множестве ; 7. Множество точек, координаты (p; q) которых удовлетворяют условиям ; 8. 71; 9. Если , то ; если , то ; при других а отрицательных корней нет; 10. ; 11. a<-15, или а= -9, или а 15. Указание. Данная система равносильна такой Теперь ясно, что задача свелась к поиску тех значений параметра, при которых первое уравнение полученной системы имеет единственное неотрицательное решение.



Рассмотрим три случая:

  1. D=0. Имеем а=9 или а=-9. Условию удовлетворяет только а=-9.

  2. Корни уравнений имеют разные знаки, т.е. 225-а2<0.

  3. Один из корней равен нулю, другой отрицательный: . Отсюда а=15.

Литература

  1. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами/ Горнштейн П.И, Полонеский В.Б, Якир М.С.-М.: Илекса, 2005 .-328с.-ISBN 5-89237-021-6

  2. История арифметики/ Депман И.Я. -М.: Просвещение, 1965. -412 с.

  3. История математики в школе/ Глейзер Г.И. – М.: Просвещение, 1981. – 239 с.

  4. Решение задач: учебное пособие для 10 класса/ Шарыгин И.Ф.-М.: Просвещение, 1994.-252 с.- ISBN 5-09-005948-9

  5. Электронный ресурс - Режим доступа: http://easymath.com.ua/greatmathone.php?ppl=353

  6. Электронный ресурс - Режим доступа: http://fio.ifmo.ru/archive/group11/c4wu7/ch1.htm#fv

  7. Электронный ресурс - Режим доступа: http://festival.1september.ru/articles/503928/

  8. Алгебра: учебник для 8 класса/ Алимов Ш. А, Колягин Ю.М, Сидоров Ю. В и др. – М.: Просвещение, 2007. – 239 с. – ISBN5-09-003381-1

  9. Сборник задач по алгебре/ Галицкий М.Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И.-М.: Просвещение, 2000.

10. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы /Под ред. Сканави М. И. – М. : Альянс-В, 2003. – 608 с.

1 [Электронный ресурс] – режим доступа: http://www. mon.gov.ru/


<< предыдущая страница