«Теорема Виета и её применение» - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
«Теорема Виета и её применение» - страница №1/2



МОУ «Сарыевская основная общеобразовательная школа №2» Вязниковского района

Исследовательская работа

на тему:

«Теорема Виета и её применение»


Выполнила:ученица 9кл. Тараканова Дарья



Руководитель:Дубровина Ирина Викторовна


2010 г

Оглавление

Введение ………………………………………………………………3I. Франсуа Виет - "отец" алгебры…………………………………4II. 1.Теорема Виета.………………………..………………………72.Решение приведенных квадратных уравнений…….……. 103. Решение полных квадратных уравнений…………………124. Решение задач с параметрами………………………………155.Рекомендации для «решающих»…………………………….22III. Обратная теорема Виета. Решение задач с использованием компьютерного программирования…………………………….

23Заключение ……………………………………………………….….25Приложение…………………………………………………………..26Литература.........................................………………………………...30Введение

В этом году 470 лет с года рождения замечательного французского математика, положившего начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создателя буквенного исчисления Франсуа Виета. Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Изучая алгебру в школе, не задумываемся об её истории, о её создателях. Данная работа – возможность как можно лучше узнать историю, улучшить свои знания и раскрыть творческий потенциал.

Кроме этого, связи с последними реформами в системе образования – введение ЕГЭ положением «О проведении единого государственного экзамена», утвержденное приказом Министерством образования России от 09.04.2002 №13061- серьезная подготовка к сдаче экзамена для каждого выпускника крайне важна. Решения задач, приведенных в данной работе, способствуют формированию логического мышления и определенного уровня знаний для подготовки к Единому государственному экзамену. Таким образом, избранная тема настоящей исследовательской работы является крайне актуальной.

Целью исследования является рассмотрение практического применения теоремы Виета в системе подготовки к ЕГЭ и в компьютерном программировании. Для достижения поставленной цели предполагается решить следующие задачи:


  1. Определить вклад в развитие алгебры Франсуа Виета.

  2. Доказать и рассмотреть на практических примерах применение прямой теоремы Виета (задачи с параметрами). Сформулировать рекомендации для учащихся при решении задач с параметрами.

  3. Доказать обратную теорему Виета и показать как с помощью компьютерных технологий можно составить квадратное уравнение с заданными корнями.

Цель и задачи определили структуру работы, которая состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы и приложения.

I.Франсуа Виет - "отец" алгебры

Франсуа Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Перечисление шло в том порядке, в каком эти труды должны были издаваться, чтобы составить единое целое — новое направление в науке. К сожалению, единого целого не получилось, трактаты публиковались в совершенно случайном порядке, и многие увидели свет только после смерти Виета. Один из трактатов вообще не найден. Однако главный замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Франсуа Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене. «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой... скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства...»

Основу своего подхода Франсуа Виет называл видовой логистикой. Следуя примеру древних, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т д., а также множество скаляров, которым соответствовали реальные размеры — длина, площадь или объем. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита.

Франсуа Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление. Не случайно, что за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики.

Демонстрируя силу своего метода, ученый привел в своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач. Из знаков действий он использовал «+» и «-», знак радикала и горизонтальную черту для деления. Произведение обозначал словом «т». Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом. Но многие знаки, введенные до него, он не использовал. Так, квадрат, куб и т. д. обозначал словами или первыми буквами слов.

Таким образом, в трудах Виета алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на символических обозначениях. Виет первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины, т. е. коэффициенты соответствующих уравнений. Правда у самого Виета алгебраические символы были еще мало похожи на наши. Например, современную запись уравнения x3 + 3bx = d Виет записывал так: A cubus + B planum in A3 aequatur D solido.

Вот другой пример: 1C-8Q=16N aequatur 40, что означает в современной записи: .

Здесь еще, как видим, много слов. Но ясно, что они уже играют роль наших символов.

Ему принадлежит установление единообразного приема решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени, новый метод решения кубического уравнения, тригонометрическое решение уравнения 3-й степени в т. н. неприводимом случае, различные рациональные преобразования корней и пр. Среди этих открытий сам Виет особенно ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений (формулы Виета). Для приближенного решения уравнений с числовыми коэффициентами Виет предложил метод, сходный с позднейшим методом И. Ньютона. В тригонометрии Виет дал полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, нашел важные разложения cosnx и sinnx по степеням cosx и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком A. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения.
Виет решил задачу Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам с помощью линейки и циркуля. Гордясь найденным решением, Виет называл себя Аполлоном Гальским (Галлией во времена древнего Рима называли современную Францию). Bиет впервые рассмотрел бесконечное произведение, именно он установил, что 2/π есть предел выражения

В «Математическом каноне» Виета (1579), содержатся таблицы синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов, секансов, косекансов. По существу здесь применяются десятичные дроби, но для их записи Виет не придерживается какого-либо одного обозначения. Виет впервые употребил фигурные скобки. Виет нашел ключ к шифру, который применяли испанцы во время войны с Францией и даже нашел средство следить за всеми изменениями этого шифра.

Труды Виета были собраны после его смерти профессором математики в Лейдене Ф. Шоотеном и изданы в 1646 в Лейдене Галиусом, М. Мерсенном и А. Андерсоном под заглавием «Opera Vietal».



II. 1.Теорема Виета

Теорема Франсуа Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: «Если B+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно BD, то А равно В и равно D».

Сегодня же эта теорема (для частного случая, если a = 1) формулируется так: Если и - корни уравнения , то справедливы формулы:



, ,

т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство: По формуле корней приведенного квадратного уравнения имеем:

, .

Складывая эти равенства, получаем: .

Перемножая эти равенства, по формуле разности квадратов получаем:

.

Отметим, что теорема Виета справедлива и в случае, когда квадратное уравнение имеет два равных корня: .

Заметим, что теорему Виета в принципе можно сформулировать и для полного квадратного уравнения: если квадратное уравнение имеет корни и , то для них выполняются равенства

, .

Однако применение этой теоремы довольно проблематично, так как в полном квадратном уравнении по крайней мере один из корней (при их наличии, конечно) является дробным числом.

Из теоремы Виета следует следующее разложение на множители квадратного трехчлена:

.

Для уравнений 3-ей и 4-ой степени явные формулы для корней, хотя и существуют, являются весьма громоздкими и малопригодными для использования. Для общего вида уравнений еще более высоких степеней, как доказывается в высшей математике, явных формул записи корней через коэффициенты вообще не существует. Поэтому и представить через коэффициенты уравнения произвольное выражение от его корней невозможно. Но теорема Виета оказывается справедливой для уравнения произвольной степени. Только связывает она коэффициенты уравнения лишь с некоторыми специального вида выражениями от его корней. И доказывается она, естественно, без привлечения явных формул для вычисления корней уравнения по его коэффициентам.

Например, в случае кубического уравнения x3 + bx2 + cx + d = 0 между его корнями x1 , x2 , x3 и коэффициентами b, c, d справедливы следующие соотношения Виета:

x1 + x2 + x3 = - b, x1x2 + x2x3 + x3x1 = c, x1x2x3 = - d.

Конечно, через коэффициенты кубического уравнения с помощью этих соотношений можно выражать и различные их следствия, например, получить представление для выражения (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 через b, c и d .

2. Решение приведенных квадратных уравнений

На теореме Виета основан целый ряд традиционных задач и методов решения. Перейдем непосредственно к задачам, которые и раскроют возможности применения этой теоремы.



  1. Решить уравнение .

Решение: Допустим, это уравнение имеет корни, а именно, и . Тогда по теореме Виета одновременно должны выполняться равенства

Обратим внимание, что произведение корней – положительное число. А значит, корни уравнения одного знака. А так как сумма корней также является положительным числом, делаем вывод, что оба корня уравнения – положительные. Вернемся снова к произведению корней. Допустим, что корни уравнения – целые положительные числа. Тогда получить верное первое равенство можно только двумя способами (с точностью до порядка множителей): 1*6=6 или 2*3=6. Проверим для предложенных пар чисел выполнимость второго утверждения теоремы Виета: . Таким образом, числа 2 и 3 удовлетворяют обоим равенствам, а значит, и являются корнями заданного уравнения.



Ответ: 2; 3.

  1. Решите уравнение .

Решение: Пусть и - корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета

Заметим, что произведение – положительное, а сумма – отрицательное число. Значит, оба корня – отрицательные числа. Подбираем пары множителей, дающих произведение 10 (-1 и -10; -2 и -5).

Вторая пара чисел в сумме дает -7. Значит, числа -2 и -5 являются корнями данного уравнения.

Ответ: -2; -5.


  1. Решите уравнение .

Решение: Пусть и - корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета

Заметим, что произведение – отрицательное. Значит, корни – разного знака. Сумма корней – также отрицательное число. Значит, больший по модулю корень – отрицательный. Подбираем пары множителей, дающих произведение -10 (1 и -10; 2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает -3. Значит, числа 2 и -5 являются корнями данного уравнения.



Ответ: 2; -5.

3. Решение полных квадратных уравнений



Рассмотрим полное квадратное уравнение . Умножим обе части уравнения на первый коэффициент а и запишем уравнение в виде . Введем новую переменную и получим приведенное квадратное уравнение , корни которого и (при их наличии) могут быть найдены по теореме Виета. Тогда корни исходного уравнения будут ,. Обратим внимание, что составить вспомогательное приведенное уравнение очень просто: второй коэффициент сохраняется, а третий коэффициент равен произведению ас. При определенном навыке учащиеся сразу составляют вспомогательное уравнение, находят его корни по теореме Виета и указывают корни заданного полного уравнения. Приведем примеры.

  1. Решите уравнение .

Решение: Составим вспомогательное уравнение и по теореме Виета найдем его корни . А значит, корни исходного уравнения , .

Ответ: ,

  1. . Решите уравнение .

Решение: Вспомогательное уравнение имеет вид . По теореме Виета его корни . Находим корни исходного уравнения , .

Ответ: .

И еще один случай, когда применение теоремы Виета позволяет устно найти корни полного квадратного уравнения. Нетрудно доказать, что число 1 является корнем уравнения , тогда и только тогда, когда . Второй корень уравнения находится по теореме Виета и равен . Еще одно утверждение: чтобы число –1 являлось корнем уравнения необходимо и достаточно, чтобы . Тогда второй корень уравнения по теореме Виета равен . Аналогичные утверждения можно сформулировать и для приведенного квадратного уравнения.



  1. Решить уравнение 319+1988х+1669=0.

Решение: Решение этого уравнения непосредственно по формуле корней квадратного уравнения приводит к большим вычислительным трудностям.

Если же заметить, что 319-1988+1669=0, откуда следует, что является корнем уравнения, то по теореме Виета





Ответ: .

  1. Решите уравнение .

Решение: Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю. Значит, корни уравнения , .

Ответ: , .

  1. Решите уравнение .

Решение: Для коэффициентов этого уравнения выполняется свойство (действительно, 1-(-999)+(-1000)=0). Значит, корни уравнения , .

Ответ: , .

Рекомендация

Сталкиваясь с квадратным уравнением, решение которого требует громоздких арифметических или алгебраических преобразований, попытайтесь выяснить, не имеет ли это уравнение «Хорошего» целого корня, в частности 1 (в этом случае имеет место равенство а+b+c=0) или -1(a-b+c=0).



3.Решение задач с параметрами.

  1. При каких значениях параметра а множество решений неравенства x2+ax -1 <0 будет интервал длины 5?

Решение: Заметим, что при любых значениях параметра а дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства, положителен. Пусть x1 и x2 – корни этого квадратного трехчлена. По условию должно иметь место равенство = 5.

Имеем = = . Применяя теорему Виета, получим =. Тогда=5. Отсюда =.



Ответ: а = или а = -.

  1. Определить, при каких значениях параметра а расстояние между корнями квадратного уравнения x 2 + (2a + 3) x + 2a + 1 = 0 не превосходит двух.

Решение: Запишем условие задачи неравенством |x1x2| ≤ 2, где x1 и x2 корни уравнения. Выполним преобразование:

.

Коэффициенты p и q имеют вид: p = 2a + 3, q = 2a + 1. Решим неравенство |x1x2| ≤ 2, то есть неравенство



.

Получаем:



.

Существование корней уравнения при обеспечивает уже наложенное выше условие: D = p2 – 4q ≥ 0 4a2 + 4a + 5 ≤ 0 a — любое.



Ответ: Расстояние между корнями квадратного уравнения не превосходит двух при .

  1. При каких значениях параметра а один из корней уравнения

x 2 – (a + 2) x + a 2 + 1 = 0 вдвое больше другого его корня?

Решение: Заметим, что подстановка x = 0 в уравнение не превращает его в верное числовое равенство: x = 0 влечет a 2 + 1 = 0, что невозможно. Поэтому, если обозначить символами  x1 и x2 корни уравнения, то условие задачи можно записать в виде:

, что равносильно условию. Тогда .

Воспользовавшись преобразованием



и заменив, согласно теореме Виета,



,

получаем уравнение для отыскания значений параметра:



.

Решим его: 2(a + 2)2 = 9(a2 + 1) 2a 2 + 8a + 8 = 9a 2 + 97a 2 – 8a + 1 = 0. Следовательно, a1 = 1, . Помня о том, что использование соотношений Виета еще не гарантирует наличие корней, проверим для полученных a  условие «положительности» дискриминанта:



D = ( a + 2)2 – a2 – 1 = 4a + 3 ≥ 0 , следовательно .

Из последнего неравенства следует, что оба значения a удовлетворяют условию задачи.



Ответ: Один из корней уравнения вдвое больше другого его корня при a = 1, .

  1. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения 4x2+28x + а = 0 равна 22,5?

Решение: Вначале рассмотрим решение, с которым нам не раз приходилось встречаться. Имеем . Поскольку 22,5, то получаем «ответ» а=53. Однако при найденном значении а исходное уравнение корней не имеет. В этом решении мы столкнулись с одной из «популярнейших» ошибок, связанной с применением теоремы Виета: вести речь о корнях, предварительно не выяснив, существуют они или нет. Так, в данном примере, в первую очередь необходимо было установить , что лишь при а 49 исходное уравнение имеет корни. Только после этого можно обратиться к выкладкам, приведенным выше.

Ответ: таких а не существует.

  1. При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

Решение: Найдем дискриминант данного квадратного уравнения. Имеем D = . Здесь важно не сделать ошибочный вывод о том, что уравнение имеет два корня при любом а. Оно действительно имеет два корня при любом, но допустимом а, т.е. при или .

Используя теорему Виета, запишем .

Таким образом, для получения ответа осталось найти наименьшее значение квадратичной функции на множестве . Поскольку при, а при , то функция f на указанном множестве принимает наименьшее значение в точке а=0.

Ответ: а=0.


  1. При каких значениях параметра а отношение корней уравнения 5x2 – 5ax + a 2 + 1 = 0 является натуральным числом?

Решение: Перепишем заданное уравнение в приведенном виде:

,

Обозначим корни уравнения символами  x1 и x2 и воспользуемся преобразованием:



.

По условию должно выполняться равенство:



.

Тогда остается решить систему условий:



.

Второе неравенство в этой системе выражает «положительность» дискриминанта квадратного уравнения и обеспечивает существование его корней. Решим эту систему:



.

Первое уравнение этой системы влечет неравенство n2 –3n + 1 < 0, то есть n = 1, 2. Перебор этих двух значений показывает, что неравенство |a| ≥ 2 для них выполняется , и тогда a =  ± 2, ± 3.



Ответ: отношение корней уравнения является натуральным числом при a =  ± 2, ± 3.

  1. При каких значениях параметра а уравнение имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.

Решение: Прежде всего, если 1 и , необходимо и достаточно выполнения неравенств:

Откуда а >5. Точно также рассматриваются другие случаи.



Ответ: Если a < 1 или 2< a < 2,5, то , ; если а=1 или а=2, то , ; если 1, ; если а=2,5, то ; если 2,5, если а>5, то , .Ответ выглядит сложнее, чем решение задачи.

  1. При каких а корни x1 и x2 уравнения удовлетворяют неравенству ?

Решение: Обозначим левую часть данного уравнения через f(x). Условие существования его корней можно получить без вычисления дискриминанта. Так, старший коэффициент квадратного трехчлена f положителен при любых а, , и , следовательно, уравнение имеет корни всегда. Этот факт совершенно очевиден с графической точки зрения: ветви параболы направлены вверх и существуют точки, в которых функция принимает неположительные значения. Причем, если , то уравнение имеет два различных корня.

Нетрудно догадаться, что возникла необходимость разобрать отдельно случай, когда а=0. При таком а уравнение имеет один двойной корень х=0. Очевидно полученные значения не удовлетворяют исходному неравенству. Если, то имеем ,т.е. корни уравнения разных знаков. (С помощью теоремы Виета легко определяются знаки корней). Отсюда или .

Перепишем исходное неравенство в таком виде . Тогда искомые значения параметра а найдем, решив систему

Отсюда с учетом запишем



Решив эту систему, получим



Ответ: или .

  1. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений

Имеет четыре различных решения.

Решение: Подставив из второго уравнения в первое, получим . Если нам удается найти условия для а, при которых это уравнение имеет два различных корня и таких, что выражение и становятся положительными, то задача очевидно будет решена.

Ясно, что а=0 не подходит. Имеем . Получим . Обозначим ax=t. Тогда последнее уравнение становится таким: Теперь осталось найти значения а, при которых это уравнение имеет два различных положительных корня. Имеем



Решив эту систему, получим



следующая страница >>