Различные средние положительных. Неравенство Коши. Математика - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Учебный курс «Математика» 2 779.03kb.
Образование: высшее, окончила сгу им. Н. Г. Чернышевского в 1996... 2 292.57kb.
Издавна известна роль фаллических символов в жизни общества. 1 39.45kb.
Модуль Ряды 1 39.44kb.
Программа элективного курса по математике «Калейдоскоп неравенств» 2 589.51kb.
Кишенкова О. В. Тесты для старшей школы по обществознанию 9 2586.21kb.
Средние специальные учебные заведения Иркутской области 1 52.99kb.
Урок по теме «Алмазодобывающая промышленность Якутии» 1 81.57kb.
Избирательная способность амуров к пище 1 175.07kb.
Квн по математике в 6-7 классах квн проводится в виде театрализованного... 1 47.39kb.
1 Аналогично доказанному в пункте 30, 5 предельному соотношению 1 41.25kb.
Численность населения городов Донецкой области по данным переписей... 1 144.55kb.
Публичный отчет о деятельности моу кассельская сош 2 737.71kb.
Различные средние положительных. Неравенство Коши. Математика - страница №1/3


II – я Всероссийская дистанционная ученическая Конференция




Различные средние положительных. Неравенство Коши.
Математика, исследование.

Горбунов Денис, 11 класс, МОУ лицей №1 г. Кунгура Пермского края

Научный руководитель: Тихомирова Галина Николаевна, учитель математики лицея №1

Web-адрес:http://lyceum-kungur.narod.ru/works.html


Аннотация.

В школьном курсе математики и физики изучаются средние величины (среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное).

Между ними существуют удивительные соотношения, которые исследованы учёными. О.Коши, французский математик, сопоставив две средние величины, пришёл к выводу о том, что среднее арифметическое n чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел.

Неравенство Коши используется при решении уравнений, неравенств и систем методом оценок, появляется в вариантах теста ЕГЭ (например, задача С3 в 2006 году).

Развитие теории неравенств с переменными за последние сто лет привело к появлению в ней необычайного разнообразия методов и направлений, что и стало предметом моего исследования.

Работа состоит из двух частей: теоретической и практической. Теоретическая часть представлена тремя разделами: средние величины и их сравнение для двух положительных чисел; замечательные неравенства и методы решения задач.

Вторая часть – практическая, которая ставила своей целью научиться применять замечательные неравенства при решении различных заданий.

Думаю, что проделанная мною работа поможет мне успешно подготовиться к ЕГЭ и будет интересна для ознакомления выпускникам школ и увлечённым математикой людям.



Тема: Различные средние положительных. Неравенство Коши.
Цель: изучение средних величин, определение оптимальных методов решения задач со средними величинами.

Задачи:

  1. познакомиться с историей появления средних величин,

  2. дать определение средним величинам,

  3. доказать алгебраически и геометрически соотношение между средними величинами,

  4. рассмотреть применение неравенства Коши при исследовании свойств функций,

  5. систематизировать различные методы решения нестандартных задач.


Почему я выбрал эту тему?

Когда передо мной встал вопрос выбора темы, я из всех рассматриваемых вариантов незамедлительно выбрал эту. Свой выбор я основывал на том, что эта тема поможет мне подготовиться к экзаменам и узнать много нового для себя.



План:

  1. Вступление

  2. А)Теоретическая часть

    1. 2.1.Понятие средней величины.

    2. 2.2.Из истории средних величин

    3. 2.3.Соотношение между средними величинами

2.3.1.Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического

2.3.2.Сравнение среднего арифметического и среднего квадратичного

2.3.3.Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического

2.3.4.Геометрическое доказательство сравнения средних величин

2.3.4.1. Среднее арифметическое и среднее квадратичное

2.3.4.2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое

2.3.4.3. Среднее гармоническое и среднее геометрическое

2.3.4.4. Построение четырёх средних по заданным отрезкам a и b

2.3.5.Решение геометрических задач на сравнение средних величин

2.4. Средние для n положительных чисел

2.5. Замечательные пределы, порождаемые классическими средними.

2.6. Замечательное неравенство Коши

Б)Практическая часть

2.7.Основные методы решения задач на доказательство неравенств

2.7.1. Метод анализа

2.7.2. Метод синтеза

2.7.3. Метод от противного

2.7.4. Метод использования тождеств

2.7.5. Метод оценивания

2.7.6. Метод введения новых переменных, или метод

подстановки

2.7.7. Метод введения вспомогательных функций

2.7.8. Метод уменьшения числа переменных в неравенстве и понижения степени неравенства

2.8. Применение неравенства Коши при решении задач.

2.9. Задача Дидоны и другие задачи на оптимизацию

III. Заключение

IV. Список литературы

Вступление.

В школьном курсе математики каждый пятиклассник встречается со средним арифметическим двух или нескольких натуральных чисел (; ;…). При изучении геометрии в восьмом классе, рассматривая прямоугольный треугольник, каждый школьник знакомится со средним геометрическим двух отрезков (). В прямоугольном треугольнике таким свойством обладают три отрезка: два катета и перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. С уроков физики известно, что если и - скорости на двух участках пути, то средняя скорость равна , то есть является средним гармоническим и . Существует ещё и четвёртое среднее – среднее квадратичное .

Можно выделить большой класс задач, для решения которых достаточно знать и уметь применять сравнительно несложные неравенства. К числу таких неравенств относится, прежде всего, неравенство Коши: среднее арифметическое двух положительных чисел a и b не меньше их среднего геометрического: . Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:

В неравенствах равенство достигается, если a = b. Эти неравенства эквивалентны друг другу при , .

Данные неравенства используются при решении уравнений, неравенств и систем методом оценок, появляются в вариантах теста ЕГЭ (например, задача С3 в 2006 году).

Следует отметить, что развитие теории неравенств с переменными за последние сто лет привело к появлению в ней необычайного разнообразия методов и направлений.

Я изучил большое количество литературы по данной теме, систематизировал её. Работа состоит из двух частей: теоретической и практической. Теоретическая часть представлена тремя разделами: средние величины и их сравнение для двух положительных чисел; замечательные неравенства и методы решения задач.

Вторая часть – практическая, которая ставила своей целью научиться применять замечательные неравенства при решении различных заданий.

Думаю, что проделанная мною работа поможет мне успешно подготовиться к ЕГЭ.
Понятие средней величины.

Средней величиной действительных чисел называют всякое действительное число х, удовлетворяющее условию , где mнаименьшее, а М – наибольшее среди чисел .

Средняя величина чисел только одна в том и только в том случае, когда .
Средним геометрическим действительных неотрицательных чисел называют такое действительное неотрицательное число .
Средним арифметическим действительных чисел называют действительное число .
Средним гармоническим действительных положительных чисел называют положительное число .
Средним квадратическим (квадратичным) действительных чисел называют неотрицательное действительное число.

Если рассмотреть два положительных числа a и b, то эти средние величины будут выглядеть следующим образом:



  • среднее арифметическое:

  • среднее геометрическое:

  • среднее гармоническое:

  • среднее квадратичное:

Можно рассмотреть следующие задачи.

Задачи № 1. Определить среднюю скорость туриста на всем пути, если от пункта А до пункта В он шёл со скоростью , а обратно – со скоростью .

Решение. Обозначим символом S расстояние между пунктами А и В, тогда

- время туриста от А до В, а



- время туриста обратно.

+ - время, затраченное на весь путь.

Тогда

Получили, что есть среднее гармоническое скоростей и .
Задача № 2. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С на гипотенузу опущен перпендикуляр CD, который делит гипотенузу на отрезки AD = a; BD = b. Выразить через a и b:


  1. CD

  2. DE (где Е – есть точка пересечения окружности, описанной около треугольника АВС, и перпендикуляра, проведённого к АВ через центр окружности)

  3. СК (где точка К- есть основание перпендикуляра, опущенного из точки D на r = СО.

Решение.

1) ∆АВС – прямоугольный, поэтому АВ – диаметр окружности

АВ = a + b, О – центр окружности, то есть АО = ОВ = ОЕ =

Получили, что ЕО = является средним арифметическим двух отрезков, длины которых a и b.

2)CD┴АВ (по условию), следовательно, по свойству перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, CD²=ADDB. Значит

, то есть .

CD является средним геометрическим двух отрезков, длины которых равны a и b.

3) ∆OED – прямоугольный, так как EO ┴ АВ (по условию)

(как радиус окружности)

По теореме Пифагора

DE² = OD² + OE²



, то есть DE является средним квадратичным для двух отрезков, длины которых a и b.

  1. ∆DOC – прямоугольный, так как CD ┴ АВ. Проведём

┴ СО.

По свойству прямоугольного треугольника CD² = CO CK, то есть



, то есть СК – среднее гармоническое для a и b.

Из решения этой задачи видно, что для двух отрезков a и b можно найти четыре зависимости: среднее квадратичное, среднее гармоническое, среднее арифметическое, среднее геометрическое.


В какой же зависимости они находятся друг от друга?

Из истории средних величин.

Когда возникли понятия средних величин в математике, точно не известно. Но предполагают, что уже вавилоняне более трех тысяч лет назад использовали их при вычислении квадратных корней. В дошедших до нас табличках квадратные корни из натуральных чисел фактически вычислены по известной нам формуле:

если N = β² + r, то = .

Восстанавливая ход рассуждений вавилонян, современные учёные пришли к выводу, что они брали среднее арифметическое чисел β и . В самом деле, если обозначить , то β= .

Много позже древнегреческий математик Герон (I в.) в своей «Метрике», применяя тот же метод приближённого вычисления квадратного корня, писал, что если результат получается со слишком большой погрешностью, то указанную процедуру можно повторить, т.е. взять среднее арифметическое чисел βи .

Применим этот алгоритм к вычислению квадратного корня из натурального числа, записав его в виде произведения двух натуральных чисел: N = ab (при простом N один из сомножителей равен 1). В качестве первого приближения значения возьмём , затем следуя рекомендации Герона, найдем , которое оказывается средним гармоническим чисел a и b.

Также средние величины были известны и античным математикам. В одном из математических тестов, которые приписывают древнегреческому математику Архиту (ок. 428 – 365 г.г. до н.э.), среднее арифметическое А, среднее геометрическое G и среднее гармоническое Н определялись как равные члены соответственно арифметической, геометрической и гармонической пропорций:
a – А = А – b;

a : G = G : b;

(a – H) : a = (H – b) : b.

Из этих равенств получаем



; ; .

Свои названия перечисленные средние величины получили в античные времена. Аристотель (384 – 322 г.г. до н.э.), великий философ древности, объяснял происхождение названий так. Среди чисел каждое последующее больше предыдущего на постоянное число (при условии a каждая следующая больше предыдущего в фиксированное число раз; такое сравнение производится только в геометрии. Естественно, Аристотель высказывал отношение к операциям, бытовавшим в древнегреческой математике.

Иногда вместо термина «среднее геометрическое» используют название среднее пропорциональное. Объясняется это совсем просто: ведь равенство равносильно пропорции a : G = G : b.

По преданию гармоническое среднее ввёл Пифагор (VI в. до н.э.), выразив с его помощью отношение основных гармонических интервалов. Пифагор установил, что вместе со струной длиной 12l, созвучно сливаясь с ней звучат струны того же натяжения с длинами 6l (выше на октаву), 8l и 9l (выше на кванту и на кварту), при этом 9l есть среднее арифметическое чисел 6l и 12l, а 8l он определил как среднее гармоническое этих чисел. Это созвучие (и определяющее его отношение 6, 8, 9, 12) называлось тетрадой. Пифагорейцы считали, что тетрада есть «та гамма, по которой поют сирены».

Открытие тетрады привело пифагорейцев к поискам подобных соотношений в других областях человеческих знаний, в том числе архитектуре («золотое сечение»), геометрии, космологии и т.д.

В древнегреческой математике, которая была по преимуществу геометрической, было известно несколько способов построения средних по двум данным отрезкам а и в. У Паппы Александрийского (III в.) в его «Математическом собрании», своде результатов древнегреческой математики, приведено построение среднего геометрического двух отрезков по способам его предшественников Эратосфена (276 – 174 г.г. до н.э.), Никомеда (II в. до н.э.) и Герона ( I в.), дано также описание построения на одной фигуре всех трёх отрезков.

Формулы, задающие различные средние, вообще говоря, имеют смысл не только при положительных a и b. Однако, чтобы каждый раз не задумываться над вопросом существования средней величины, обычно считают a и b положительными.
Соотношение между средними величинами.

Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического.

Хорошо известно, что с двумя положительными числами а и в, связаны их среднее арифметическое и среднее геометрическое, причем (равенство выполняется только при а = в). Алгебраическое доказательство этого неравенства чрезвычайно простое:



(а – в)² ≥ 0;

Применим формулу «квадрат разности»:



а² - 2ав + в² ≥0;

Прибавим к обеим частям неравенства 4ав:



а² + 2ав + в² ≥4ав;

Применим формулу «квадрат суммы»:



(а + в)² ≥4ав;

Разделим обе части неравенства на 4:



;

Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:
Получили искомое выражение.
Сравнение среднего арифметического и среднего квадратичного.

По определению неравенства если (а – в) ≥0, то а ≥ в, а если (а – в)≤0, то а ≤ в. Но для положительных а и в имеет место выражение: если (а² - в²)≥0, то а ≥ в и наоборот.

Для доказательства рассмотрим разность

Значит по определению неравенства (при а≥0; b≥0) разность квадратов отрицательна, то есть уменьшаемое меньше вычитаемого. Таким образом , причём равенство достигается только при a=b.



Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического.

Докажем, что среднее гармоническое не больше среднего геометрического, то есть . Рассмотрим разность

При условии, что a и b положительны разность квадратов , то есть уменьшаемое меньше вычитаемого. Значит , причём равенство достигается лишь при a=b.

Таким образом мы доказали одно из важнейших неравенств, связанных со средними:



.
следующая страница >>