Расчетно-графическая работа 3 - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Графическая обработка данных. Цели урока 1 36.25kb.
Дистанционные олимпиады, самостоятельная работа учащихся, работа... 1 62.11kb.
Расчетно-графическое задание №5 1 20.3kb.
«Односоставные предложения» 1 62.84kb.
Контрольная работа по общим учебным умениям 1 41.14kb.
Научная работа. «Роль студентов специальности «социальная работа» 7 414.74kb.
Практическая работа №2 Алгоритмическая структура «ветвление» 3 Практическая... 1 124.25kb.
Лабораторная работа №2-2 Работа с файловым менеджером total commander... 1 27.7kb.
Практическая работа №3 «Microsoft Windows. Работа с папками и Файлами... 1 57.71kb.
Урок изучения нового материала Лекция с элементами беседы, работа... 3 597.91kb.
Контрольная работа по теме: «Механическая работа и мощность; 1 9.62kb.
Лекция Суточные ритмы сердечно-сосудистой и респираторной систем 1 63.35kb.
Публичный отчет о деятельности моу кассельская сош 2 737.71kb.
Расчетно-графическая работа 3 - страница №1/1






Расчетно-графическая работа 3.
Составление дифференциального уравнения,

описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей.
Цель работы. Значительное количество химических и техноло-гических процессов можно описать дифференциальными уравнениями первого или второго порядка. При этом могут быть заданы не только начальные, но и краевые условия. Если решать такие задачи аналити-ческим путем, например, путем сведения к двум задачам Коши, то математических знаний в рамках курса Высшей математики может оказаться недостаточно. Кроме того, к аналитическим методам трудно применить вычислительную технику. В связи с этим, представляет большой интерес метод, когда производные дифференциального урав-нения заменяются на конечно-разностные отношения, а само ДУ представляется в виде системы линейных алгебраических уравнений. Для решения последних разработаны весьма эффективные программы, не требующие от студентов глубоких математических знаний.

Теоретические положения . Пусть некоторый химико-техноло-гический процесс описывается дифференциальным уравнением вида
(1)

с двуточечными линейными краевыми условиями


(2)
где непрерывны на отрезке , а заданные константы, определяющие конкретный характер протекания химического или технологиеского процесса.

Одним из наиболее простых методов решения этой краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Для этого отрезок разбивается на равных частей длины . Точки разбиения имеют абсциссы:



Значения искомой функции и ее производных и в точках обозначим как и . Соответственно обозначим Заменяя производные симметричными конечно-разностными отношениями, для внутренних точек отрезка будем иметь:



(3)

Для концевых точек , чтобы не выходить за пределы отрезка , положим:



. (4)
Используя формулы (3), дифференциальное уравнение (1) во внутренних точках заменим линейной системой уравнений

+ + = , (5)

Кроме того, краевые условия (2) дополнительно дают еще два уравнения (при этом используем формулы для производных в концевых точках - (4)):



= A, + = B (6)

Таким образом, получена система, состоящая из уравнения с неизвестным: . Решая эту систему одним из известных способов, найдем значения искомой функции .



Порядок выполнения работы.

- выписать строку с вариантом параметров исследуемого процесса,

- в соответствии с формулами (7) и (8) задать дифференциальное уравнение и краевые условия, подставив значения параметров,

- выписать выражения (3) и (4), с помощью которых производные заменяются на конечно-разностные соотношения,

- заменить в выражениях (7) и (8) первую и вторую производные по формулам (3) и (4) и записать систему конечно-разностных алгебра-ических уравнений в форме (5) и (6),

- вычислить в Excel таблицы аргументов - и правой части ДУ - ,

- подставив в формулы (5) и (6) значения констант и величины , записать 6 уравнений :

а) первое уравнение получаем из первого краевого условия (6),

б) четыре следующих уравнения получаем из выражения (5), подставляя туда последовательно значения k=1, 2, 3 и 4,

в) последнее уравнение получаем из второго краевого условия (6),

- выполнив над каждым из уравнениений преобразования (деления и приведения подобных членов относительно ), приведем их затем к линейному виду, т.е. в порядке убывания индекса функций ,

- полученную систему линейных уравнений удобно решить методом прогонки:

а) выражаем из первого уравнения через и подставляем во второе уравнение,

б) выражаем из второго уравнения через и подставляем в третье уравнение,

в) продолжая этот процесс, в конце концов находим ,

- двигаясь затем в обратном направлении, последовательно находим ,

- сделать проверку правильности полученного решения:

а) за точное значение - примем величину правой части диффе-ренциального уравнения (7) в точке ,

б) по найденному решению составим таблицу разностей,

в) найдем величину второй производной в точке - , используя формулу численного дифференцирования для узлов,

г) вычислим всю левую часть ДУ (7), обозначив ее за ,

д) сравним и в точке , для чего найдем абсолютную и относительную погрешности,

- сделать график функции в виде ломаной или гистограммы.

Варианты исходных данных.

Задано дифференциальное уравнение второго порядка


(7)
с краевыми условиями в точках и
(8)

где - заданные числа,



- функция, непрерывная на отрезке .

Параметры уравнения (7) и краевых условий (8) представлены в таблице
























1

1.5

Cos(4.9x)

1.6

0

2.2

5.7

0

0.2

2.4

2

2.0

Sin(0.8x)

1.5

0

2.4

5.2

0.5

6.8

2.0

3

1.3

Exp(3.7x)

1.0

0

2.4

5.2

0.2

4.0

2.0

4

1.4

-4x

1.5

0

2.0

5.2

2.2

1.6

2.4

5

1.0

Cos(1.2x)

0

3.8

5.7

1.5

0.2

0.6

0.8

6

0.5

Sin(0.2x)

0

3.0

4.8

1.1

0.2

0.6

0.7

7

0.8

Exp(-3x)

0

3.1

5.1

1.0

0.2

0.6

0.6

8

0.8

4.7x

0

2.9

5.0

1.3

0.3

1.1

0.8

9

0.9

Cos(3x)

0.7

0.7

0.5

0.3

0

-0.1

0.7

10

0.5

Sin(4.1x)

0.6

0.6

0.6

0.7

0

0.2

0.9

11

1.1

Exp(2x)

0.8

0.8

0.9

0.8

0

0.2

0.8

12

0.6

6.6x

0.8

0.8

0.8

0.5

0

0.1

0.7

13

1.8

Cos(1.1x)

0.9

2.3

1.5

0

0.5

1.0

2.2

14

2.4

Sin(5.5x)

1.0

2.3

1.4

0

0.6

2.5

2.0

15

2.1

Exp(-4x)

1.0

2.3

1.3

0

0.3

0.6

2.1

16

2.2

1.3x

1.1

2.3

1.5

0

1.2

0.6

1.9

17

0.8

Cos(4.1x)

9.2

1.8

0

2.4

0.6

7.7

0.6

18

0.7

Sin(7.4x)

5.1

1.5

0

2.5

0.4

0.8

0.9

19

0.9

Exp(2.9x)

9.2

1.8

0

2.9

0.6

1.1

0.6

20

1.1

-4.2x

5.1

1.5

0

2.3

0.7

1.1

0.9

21




























22




























23




























24




























25




























26




























27




























28




























29




























30





























Пример расчета.

1.Исходные данные :

а) представлены в виде таблицы параметров исследуемого процесса


P2

f(x)









A

B

B

0.8

4.7x

0

2.9

5.0

1.3

0.3

1.1

0.8


б) задано дифференциальное уравнение процесса

(1)

и краевые условия



(2)

в) точки разбиения отрезка [0,b] :
xk=kh h=b/5=0.8/5=0.16 n=5 y(xk)=yk f(xk)=fk
г) заменим производные симметричными конечно-разностными отношениями:

- для внутренних точек имеем:



(3)

- для концевых точек имеем:



(4)
д) подставляя формулы (3) и (4) в уравнение (1) и краевые условия (2), получим систему:

(5)

(6)

(7)

  1. Результаты расчетов:

а) вычислим xk

x0=0

x1=0.16

x2=0.32

x3=0.48

x4=0.64

x5=0.8
б) вычислим fk

f(x0)=4.7*0=0

f(x1)=4.7*0.16=0.752

f(x2)=4.7*0.32=1.504

f(x3)=4.7*0.48=2.256

f(x4)=4.7*0.64=3.008

f(x5)=4.7*0.8=3.7
в) запишем ДУ и краевые условия:





г) составим 6 уравнений, подставив в формулы (5), (6) и (7) const и fk

- из первого краевого условия (5) имеем

(8)

- подставляя в формулу (6) последовательно k=1, 2, 3 и 4, получим еще четыре уравнения



(9)

(10)

(11)

(12)

- наконец, из второго краевого условия (7) будем иметь



(13)

д) преобразуем полученные уравнения к линейному виду и расположим в порядке уменьшения k

(8*)

(9*)

(10*)

(11*)

(12*)

(13*)

е) для решения системы используем метод прогонки:

- выражаем из (8*) y0 через y1 и подставляем в (9*)



- выражаем из (9*) y1 через y2 и подставляем в (10*)



- выражаем из (10*) y2 через y3 и подставляем в (11*)



- выражаем из (11*) y3 через y4 и подставляем в (12*)



- выражаем из (12*) y4 через y5 и подставляем в (13*)



- находим y5





ж) двигаясь в обратном направлении последовательно вычисляем:



3. Проверка

а) за точное значение принимаем

б) по найденному решению составим таблицу разностей:


I

y











0

0,4034

0,0166

-0,0106

-0,0410

0,0427

-0,0657

1

0,4200

0,0060

-0,0516

0,0017

-0,0230

 

2

0,4260

-0,0456

-0,0499

-0,0213

 

 

3

0,3804

-0,0955

-0,0712

 

 

 

4

0,2849

-0,1667

 

 

 

 

5

0,1182

 

 

 

 

 



в) подставим разности в формулу для (из лекции) и получим:



г) вычислим всю левую часть ДУ (1) и обозначим ее за



д) найдем абсолютную и относительную погрешности

%
4. График решения дифференциального уравнения