Программа элективного курса по математике «Калейдоскоп неравенств» - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа элективного курса по математике для учащихся 9-го класса 1 94.02kb.
Программа элективного курса по информатике для учащихся 9 классов 1 152.91kb.
Программа элективного курса «Экономика: теория и практика» 1 117.45kb.
Элективный курс по математике «Решение нестандартных задач» Класс 1 138.69kb.
М. В. Курникова/ Рабочая программа учебного курса по математике для... 1 178.31kb.
Программа элективного курса Журналистика 1 107.42kb.
Данная программа элективного курса носит практическую предметную... 2 453.1kb.
Программа элективного курса «Трудные вопросы русской орфографии» 1 124.97kb.
Программа элективного курса в системе профильного обучения «Компьютерный... 1 219.54kb.
Программа элективного курса «Демография Тынды и Тындинского района»... 1 176.31kb.
Программа дистанционного курса по математике 1 201.38kb.
Положение о комиссии по 1 111.87kb.
Публичный отчет о деятельности моу кассельская сош 2 737.71kb.
Программа элективного курса по математике «Калейдоскоп неравенств» - страница №1/2

Программа элективного курса по математике

«Калейдоскоп неравенств»

Пояснительная записка.

Понятие «неравенство» – одно из фундаментальных понятий школьного курса математики.

Умение решать неравенства различных видов позволяет обеспечить базовую подготовку школьника для успешного прохождения итоговой аттестации по математике за курс основной школы. Кроме того, это может помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего образования, так и повысить уровень своей общей математической культуры.

Элективный курс «Калейдоскоп неравенств» рассчитан на 17 часов и предназначен для учащихся 9 классов общеобразовательных школ.



Цели курса:

- развитие математических способностей: логически мыслить, умения

анализировать, обобщать, делать выводы через усвоение различных методов

решения неравенств, систем неравенств;

- преодоление психологического барьера, связанного с новой формой проведения

итоговой аттестации по математике, и обретение уверенности в своих силах.



Задачи курса:

- обобщить понятия: «неравенство», «система неравенств»;

- систематизировать основные методы решения неравенств, систем неравенств и

научиться применять их в новых нестандартных ситуациях;

- приобрести навыки работы с тестами, совершенствовать навыки самостоятельной

работы, работы в группах;

- совершенствовать навыки самоконтроля.

При проведении занятий по курсу на первое место выйдут следующие формы организации работы: групповая, парная, индивидуальная; методы работы: частично-поисковые, эвристические, исследовательские, тренинги. Данный курс поможет ученику основательно подготовиться к итоговой аттестации и осознанно выбрать профиль обучения в старшей школе. Освоение элективного курса завершается итоговым контролем (контрольная работа). В данной программе представлены приложения, содержащие теоретические, практические и контрольно-измерительные материалы, а так же комплект опорных схем по изучаемым темам, который рекомендуется использовать учащимся в индивидуальной работе. В «Приложении» учитель найдет достаточно широкий набор заданий к каждому занятию и, опираясь на уровень подготовленности учащихся, сможет выбрать для работы задания разной степени сложности.



Содержание курса.

Курс содержит: вводное занятие, 6 основных тем, итоговые занятия.



Вводное занятие (1 час) предназначено для знакомства учащихся с целями и задачами данного элективного курса, организацией занятий, требованиями к усвоению курса, повторением основных теоретических положений по теме «Неравенства».

Темы 1 - 5 (10 часов) предполагают обобщить знания учащихся по решению неравенств (линейных, квадратных, рациональных, иррациональных, дробно-рациональных и неравенств, содержащих знак модуля). На последних двух занятиях предусматривается проведение практикума по отработке полученных знаний, умений и навыков решения неравенств, а так же проводится итоговый контроль усвоения материала.

Тема 6 (4 часа) предназначена для обобщения способов решения систем неравенств различных видов.

По темам 1 - 6 предполагается отработка умений решения заданий повышенного уровня сложности.



Заключительные занятия (2 часа). На этих занятиях предусматривается проведение итоговой диагностики (контрольная работа), подведение итогов изучения элективного курса, а так же определение учащимися полезности для них данного элективного курса (анкетирование).

Примерное распределение часов по темам (17 часов)

№ темы Тема занятия Количество

часов Вводное занятие1 1.

2.

3.



4.

5. Решение линейных неравенств.

Решение квадратных неравенств.

Решение квадратных, рациональных и дробно-рациональных неравенств методом интервалов.

Решение иррациональных неравенств.

Решение неравенств, содержащих знак модуля.

Урок-практикум.

Урок контроля знаний.2

2

2

1



1

1

1 6.Решение систем неравенств4 Заключительные занятия.2 Итого: 17 часов.



Методические рекомендации.

После освоения курса учащийся должен знать:

- понятия «неравенство», «система неравенств»,

- виды неравенств и систем неравенств,

- основные методы решения неравенств и их систем;

учащийся должен уметь:

- различать виды неравенств,

- решать неравенства рациональным методом,

- выбирать и верно записывать ответ;

учащийся должен владеть:

- анализом и самоконтролем,

- способами решения неравенств и систем неравенств,

- методами исследования ситуаций, в которых результат принимает те или иные

формы.


Программа элективного курса «Калейдоскоп неравенств» считается усвоенной учеником, если он положительно выполнил более половины различных видов промежуточного контроля, итоговый тест и итоговую контрольную работу, посетил не менее 80% занятий.

При подготовке к проведению занятий по каждой теме учитель может воспользоваться приведённым ниже теоретическим и дидактическим материалом, а также может видоизменить или дополнить его.



Примерное планирование занятий элективного курса.

Вводное занятие: 1) знакомство с целями и задачами курса;

2) выполняется входная диагностика для определения уровня

готовности к усвоению курса;

3) анализ результатов диагностики;

4) повторение основных теоретических положений по теме

«Неравенства».

ТЕМА 1.

ЗАНЯТИЯ 1-2. Рассматриваются, обобщаются, систематизируются и расширяются знания учащихся о решении линейных неравенств, повторяются виды числовых промежутков, их геометрическое изображение, обозначение и запись. Проводится диагностика умений учащихся решать линейные неравенства (тест, состоящий из двух частей: часть А и часть В, и контрольная работа).



ТЕМА 2.

ЗАНЯТИЯ 1-2. Предусматривается повторение и продолжение формирования умений и навыков решения квадратных неравенств. Данные занятия направлены на развитие самостоятельности, самоконтроля учащихся. На втором занятии проводится диагностика умений учащихся решать квадратные неравенства, после которой необходимо провести анализ результатов и провести коррекцию умений и навыков учащихся.



ТЕМА 3.

ЗАНЯТИЯ 1-2. Повторяются понятия «рациональное неравенство», «дробно-

рациональное неравенство», продолжается формирование умения решать квадратные, рациональные и дробно-рациональные неравенства методом

интервалов. На занятиях уделяется внимание развитию самостоятельности, рефлексивных умений, умений самоконтроля.



ТЕМА 4.

Повторяются понятие «иррациональное неравенство», алгоритм решения иррациональных неравенств базового уровня сложности и отрабатывается навык их решения.



ТЕМА 5. На занятии повторяется алгоритм решения неравенств, содержащих знак модуля. Изученный материал закрепляется в ходе решения упражнений, как во фронтальной, так и в индивидуальной работе.

Урок-практикум. Предусматриваются: отработка умений и навыков решения различных видов неравенств (базового и повышенного уровня сложности);

коррекция умений, полученных на занятиях; развитие самостоятельности учащихся, умений самоконтроля.



Урок контроля знаний. Учащимся предлагается итоговый тест, который направлен на проверку степени усвоения изученного материала по теме «Решение неравенств различных видов».

ТЕМА 6.

ЗАНЯТИЯ 1-2. Повторяются понятия «система неравенств», «решение системы

неравенств», «решить систему неравенств»; повторяются названия числовых промежутков, их запись и изображение на числовой прямой; отрабатываются умения и навыки решение систем линейных, квадратных, дробно-рациональных и других видов неравенств. Предусматривается коррекция умений, полученных на занятиях, развитие самостоятельности, умений самоконтроля.

ЗАНЯТИЕ 3. Предусмотрено как повторение алгоритма решения иррациональных неравенств базового уровня сложности, так и решение иррациональных неравенств

повышенного уровня сложности. На занятии отрабатываются умения и навыки решения иррациональных неравенств различных видов с помощью составления систем неравенств.

ЗАНЯТИЕ 4. Предназначено для проверки уровня усвоения темы «Решение систем неравенств» (итоговый тест).



Заключительные занятия

ЗАНЯТИЕ 1. Проводится итоговый контроль уровня усвоения тем «Решение неравенств» и «Решение систем неравенств» (контрольная работа).

ЗАНЯТИЕ 2 (заключительное) Подводятся итоги изучения элективного курса «Калейдоскоп неравенств»; проводится анкетирование учащихся для определения полезности данного элективного курса при подготовке к экзамену и при выборе

профиля обучения в старшей школе.



Библиографический список используемой литературы

  1. Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразоват. учреждений/ Алимов Ш.А. и др. – М.: Просвещение, 2002.

  2. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений /Алимов Ш.А. и др.- М.: Просвещение, 2002.

  3. Брагин В.Г., Грабовский А.И. Все предметы школьной программы в схемах и таблицах. Алгебра. – М.: Олимп, 1998.

  4. Евдокимова Н.Н. Алгебра и начала анализа в таблицах и схемах. - Санкт-Петербург: Литера, 2005.

  5. Алгебра 9 класс. Предпрофильная подготовка, итоговая аттестация-2006г. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко.- Ростов-на-Дону: Легион, 2006.

  6. Алгебра: учебники для 8, 9 классов общеобразовательных учреждений / Мордкович А.Г. и др.- М.: Мнемозина, 2005.

  7. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5 - 11 кл. – М.: Дрофа, 2002.

  8. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс/ Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П., Суворова С.Б. – М.: Дрофа, 2006.

  9. Система тренировочных задач и упражнений по математике /Симонов А.Я, Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др. - М.: Просвещение, 1981.

  10. Студенецкая В.Н., Сагателова Л.С.. Сборник элективных курсов. Математика 8 – 9. – Волгоград: Учитель, 2006.

  11. Тематические тесты «Алгебра 8», «Алгебра 9».- М.: Центр тестирования РФ.

Приложение.

Вводное занятие.

Цели занятия: - повторить, обобщить и систематизировать знания учащихся

по решению линейных и квадратных неравенств;

- провести входную диагностику учащихся для определения

уровня готовности учащихся к усвоению курса;

- анализ результатов диагностики.


  1. Теоретический материал.

НЕРАВЕНСТВА
Решение:

значение переменной, обращающее неравенство в верное числовое неравенство.



Решить:

найти все решения или доказать, что их нет.Равносильные:

неравенства, имеющие одно и тоже множество решений.

неравенство

можно переносить слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком

можно умножать (делить) обе части на одно и то же положительное число

можно умножать (делить) обе части на одно и то же отрицательное число, изме - нив при этом знак неравенства на противоположный.



название неравенстваобщий видЛинейное неравенство с одной переменной1) ax>b3) ax2 + bx + c>0 (а≠0)3) ax2 + bx + c<0 (а≠0)2) ax2 + bx + c≥0 (а≠0)4) ax2 + bx + c≤0 (а≠0)

Свойства числовых неравенств.

  1. если a>b, то b

  2. если a>b, b>c, то a>c;

  3. если a>b, с – любое число, то a+c>b+c;

  4. если a>b, c>0, то ac>bc;

  5. если a>b, c<0, то ac

  6. если a>b, c>d, то a+c >b+d;

  7. если a>0, b>0, c>0, d>0, a>b и c>d, то ac>bd;

  8. если a>b>0, n – натуральное число, то an>bn;

  9. если a>0, b>0, a>b, то .

II. Входная диагностика по теме «Неравенства и их решение».

1. Известно, что m1) ; 2) 9m < 9n; 3) -9m < -9n; 4) m+9 < n+9.



2. Решите неравенство x2 ≥ 0,04.

1) x ≤ -0,2; 2) x ≥ 0,2; 3) x ≤ -0,2; x ≥ 0,2; 4) -0,2 ≤ x ≤ 0,2.


3. Решите неравенство 3х – 11 < 7x+9.

1) x < 5; 2) x < 2; 3) x < -5; 4) x > -5.



4. Решите неравенство 4x2 + 4x + 1 ≤ 0.

1) ; 2) ; 3) ; 4) решений нет.



5. Сравните числа a и , если 01) ; 2) ; 3) ; 4) нельзя сравнить.



6. Сравните числа х и , если х > 1.

1) х =; 2) х>; 3) х<; 4) нельзя сравнить.



7. Известно, что 01) b-a>0; 2) >1; 3) -3a>-3b; 4) b+c>a+c.



8. На рисунке изображен график функции y=2x-x2. Используя график,

решите неравенство 2х-х2≤0.



1)х=0; 2)х=2; 3) 0 ≤ x ≤ 2; 4) x ≤ 0; x ≥ 2.



9. Используя графики функций y=x2-4 и y=4-x2 , решите систему

неравенств

1) x ≤ -2; 2) x ≥ 2; 3) -2 ≤ x ≤ 2; 4) х=-2; х=2.

Ключ ответов:

123456789334332244 В конце занятия учащимся (по желанию) может быть предложено домашнее задание:

1) Решить систему неравенств Ответ: (1,5;3).

2) Решить неравенство х2+2х-15>0. Ответ:(-∞;-5) (3;+ ∞).

III. Подведение итогов.
ТЕМА 1. Решение линейных неравенств.

Занятие 1.

Цели занятия: - обобщить, систематизировать и несколько расширить знания

учащихся о решении линейных неравенств;

- повторить виды числовых промежутков, их геометрическое

изображение, обозначение и запись.

Ход занятия:


  1. Теоретический материал.

Числовые промежутки.
вид промежуткагеометрическое изображениеобозначениезапись, с помощью неравенства

Интервал






a< x< b

Отрезок






a≤ x≤ b

Полуинтервал







a< x b

Полуинтервал







а≤ x <b

Луч




x≥a

Луч



x≤b

Открытый луч



x>a

Открытый луч



x<b



  1. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

Для работы в классе, а также для индивидуальной самостоятельной работы можно предложить учащимся следующий набор упражнений.

1. Решите неравенства:

а) 8 + 6р < 2(5р – 8), б) 2(3 – 4q) – 3(2 - 3q) < 0,

в) -(6у +2) + 6(у – 1) > 0, г) 7 – 16r < -2(8r – 1) + 5,

д) е) ,

ж) , з)

и) а (а – 2) – а2 > 5 – 3а, к) 0,2m2 – 0,2(m – 6)(m+6) > 3,6m,

л) (4q – 1)2 > (2q + 3)(8q – 1), м) .

2. Изобразите на координатной плоскости точки, координаты которых

удовлетворяют неравенству:

а) у < 2х + 1; б) у ≥ х + 2.

3. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

а) 3(х – 2) – 4 ≥ 2(х + 3), б)



4. Решите двойные неравенства:

а) -5≤2х-7≤10, б) -13.



III. Подведение итогов.

Занятие 2.

Цель занятия: проведение диагностики умений учащихся решать линейные

неравенства.

Ход занятия:

I. Проверочная работа. Тест.

Часть А.

В – 1 В – 2



1. При каких значениях х график функции

у = 4х – 9 выше оси Ох. у = 5х – 12 ниже оси Ох.

а) х > 2,25 в) х > -2,25 а) х > 2,4 в) х > -4

б) х < 2,25 г) х < -2,25 б) х < 2,4 г) х < -4



2. Найти наименьшее целочисленное решение неравенства:

3х – 4 > 2х + 1. 7х + 1 < 2х + 6.

а) 5 в) 6 а) 0 в) – 1

б) 4 г) -4 б) 1 г) 2



3. Решите неравенство:

6 + 8х > 5х – 3. 7х + 5 < 4х – 7.

а) (1; +∞) в) (-∞; -3) а) (-∞; -4) в) (4; +∞)

б) (-∞; 3) г) (-3; +∞) б) (-∞; 4) г) (-; +∞)



4. Решите двойное неравенство:

-30 ≤ 3 – 11у ≤ -8. -8 ≤1 – 3у ≤ 28.

а) (1; 3) в) [1; 3] а) (-3; 9) в) [-3; 9]

б) [-28; -8] г) [-3; 1] б) [-8; 28] г) [-9; 3]



5. Решите систему неравенств:
2х – 5 ≤ 3, 5х – 2 ≥ -12,

0,3х ≥ -21. 0,5х ≤ 4.

а) [-7; -1] в) [4; 7] а) [-2; 8] в) [-2; 20]

б) [-70; 4] г) [-7; 4] б) [2; 8] г) [-; 8]



Часть В.

1. Найдите наибольшее целое значение n, при котором разность

(2,5 - 4n) – (5n – 2) > 0. (3 – 2n) – (8 – 1,5n) > 0.

а) -1 в) -2 а) 10 в) 9

б) 2 г) 0 б) -12 г) 0



2. Укажите наименьшее целое решение системы неравенств:

а) 3 в) 2 а) 5 в) 6

б) 1 г) 0 б) 4 г) 0
Ключ к тесту (часть А). Ключ к тесту (часть В).

12345


В-1авгвб

В-2баага

12В-1гвВ-2вв


Кроме теста или вместо него учитель может провести диагностику учащихся в форме традиционной контрольной работы.

№ 1. Решить неравенства: 1) 6-8x ≥ 5x+19; Ответ: x ≤ -1.

2) 1-3x ≤ 2x-9; Ответ: x ≥ 2.

3) 7-5x ≥ -11-11x; Ответ: x ≥ -3.

№ 2. Решите неравенства и укажите множество его решений на числовой прямой:

1) 6-х≥3х+8; Ответ: х≤-,

2) 5х+3≥2х-6; Ответ: х≥-3.

№ 3. Найдите наибольшее целое решение неравенств:

1) х+2≥2,5х-1; Ответ: х=2.

2) . Ответ: х=6.

№ 4. Найдите наименьшее целое число, являющееся решением неравенства.

. Ответ: -10.

№ 5. Найдите длину интервала, на котором выполняется неравенство .



Ответ: 3.

№ 6. Найти среднее арифметическое целых решений для неравенства .

Ответ: 3,5.

II. Подведение итогов.

ТЕМА 2. Решение квадратных неравенств.

Занятие 1.

Цели занятия: - продолжить формирование умений решать квадратные

неравенства;

- коррекция умений и навыков, полученных на уроках;

- развитие самостоятельности, умений самоконтроля.

Ход занятия:

I. Теоретический материал.
Квадратные неравенства это неравенства вида ax2+bx+c>0, ax2+bx+c<0,

ax2+bx+c≤0, ax2+bx+c≥0.

Если квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет два различных корня, то решение соответствующих квадратных неравенств можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители. Например:

-3х2-5х+2>0,

2+5х-2<0,

2+5х-2=0,

x1,2 =

x1=, x2= -2;

2+5х-2=3(x-)(x+2);

Ответ: (-2; ) 3(x-)(x+2)<0,

или

нет решения . Решить квадратное неравенство можно графически. Квадратичная функция задается формулой у=ax2+bx+c, где a0. Поэтому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.



Графическое изображение.

Da>0a<0


D<0



D=0


х1,2=

х1,2=

D>0


х1,2=

х1,2=

II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

№ 1. Решите квадратные неравенства двумя способами:

а) (х-2)(х+4)>0, в) x2-3x+2<0,

б) (x-3)(x+5)<0, г) x2-2x-3>0.

№ 2. Решите неравенства (любым способом):

а) х2 – 5х > 0, д) 4х ≤ -х2

б) х2 > 25х, е) 1/3х2 > 1/9

в) х2 – 36 < 0, ж)

г) 3х2 + х + 2 > 0, з)

№ 3. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства х2 + 7х ≤ 30.

№ 4. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства 3х – х2 > -40.

№ 5. Установите, при каких значениях х имеют смысл выражения:

а) в)

б) г)

№ 6. Равносильны ли неравенства:

а) х2 + 6х – 16 < 0 и х2 + 6х - 16 ≤ 0;

б) и

№ 7. Сколько целочисленных решений имеют неравенства:

а) 15 – х2 + 10х ≥ 0, б) х2 + 5х – 8 < 0.

№ 8. При каких значениях параметра р квадратное уравнение 3х2 – 2рх р + 6 = 0

а) имеет 2 различных корня; б) имеет 1 корень; в) не имеет корней.

III. Подведение итогов.
Занятие 2.

Цели занятия: проведение диагностики умений учащихся решать квадратные

неравенства.

Ход занятия:

I. Проверочная работа по теме «Квадратные неравенства».

Для проверочной работы учитель может предложить учащимся выполнить следующий тест.



Тест.

В – 1. В – 2.



1. Сколько решений неравенства содержится среди чисел:

2 + 7х – 4 < 0 х2 – 7х – 8 < 0

-3; 0; 1; 2,5. -3; 0; 1; 2,5.

а) ни одного; б) 1; в) 2; г)3.



2. Решите неравенство:

1 – х2 < 0. 9 – х2 > 0.

а) х > 1, в) х < 1, а) х > 3, в) -3 < х < 3,

б) х < -1, г) х < -1; х > 1. б) х < -3, г) х < -3, х > 3.



3. Решите неравенство:

2 + 7х – 4 < 0. 3х2 - 4х + 7 ≥ 0.

а) [Ѕ; 4], в) (-Ѕ; 4), а) [-1; 2⅓], в) (-1; 2⅓),

б) (-4; Ѕ), г) (-∞; -4) U (Ѕ; +∞). б) (-∞; +∞), г) (-2⅓; 1].


4. Найдите область определения функции:

у= у=

а) (0; 3) U (4; +∞) в) (-∞; 0) U [3; 4) а) [-5; -2] в) (-∞; -5] U [2; 1) U (1; +∞)

б) [0; 3] U [4; +∞) г) (0;3) б) [1; +∞) г) [-5; -2] U [1; +∞)

Ключ к тесту:

1234В-1вгббВ-2гвбг II. Подведение итогов, коррекция знаний и умений учащихся.



ТЕМА 3. Решение рациональных и дробно-рациональных

неравенств методом интервалов.

Занятия 1 2.

Цели занятия: - повторить понятия «рациональное неравенство», «дробно-

рациональное неравенство»;

- продолжить формирование умения решать квадратные,

рациональные и дробно-рациональные неравенства методом

интервалов;

- развитие самостоятельности, рефлексивных умений, умений

самоконтроля.

Ход занятия:



  1. Теоретический материал.

Рациональные и дробно-рациональные неравенства - это неравенства вида Рn(x)>0, , , где Pn(x), Qm(x) –многочлены степеней n и m.

Осуществляется переход к равносильному неравенству Pn(x) Qm(x)>0 и Pn(x) Qm(x)<0. Для решения рациональных дробно-рациональных неравенств обычно применяется метод интервалов.

Метод интервалов часто применяется и при решении квадратных неравенств.

II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

Решите неравенства:

1) x2-4x+3<0; 7) (х2-7х+12)(х2-х+2)≤0;

2) х2-3х+2≤0; 8) ;

3) 2x2+7x-4<0; 9) ;

4) 3х2-5х-2>0; 10) ;

5) 4x2-4x+1≥0; 11) .

6)



III. Задания для самостоятельного решения.

Для развития самостоятельности, рефлексивных умений, проведения самоконтроля, учащимся может быть предложена самостоятельная работа или тест по решению квадратных, рациональные и дробно-рациональные неравенства методом интервалов.



Самостоятельная работа.

В – 1. В – 2.

Решите неравенства:
(2 – х )(х + 3) ≥ 0, (1 – х) (х + 4) > 0,

2 + 4х + 1 ≤ 0, 9х2 + 6х + 1 > 0,

х – х2 – 1 ≥ 0, 3х -х2 – 1 ≥ 0,

(х + 4)2(х – 2) < 0, (х – 2)2(х + 1) > 0,







Тест.

В – 1. В – 2.



1. Решить неравенство:

х2 – 2х – 3 < 0. х2 – 3х – 4 > 0.

а) -1 < х < 3; в) х < -1, х > 3; а) -1 < х < 4; в) х < -1, х > 4;

б) -3 < х < 1; г) х < -3, х > 1. б) -4 < х < 1; г) х < -4, х > 1.



2. Решить неравенство:

х2 < 9. 16 > х2.

а) х < 3; в) -3 < х < 3; а) х < 4; в) х < 4;

б) х < -3; г) х < -3, х > 3. б) -4 < х < 4; г) х < -4, х > 4.

3. Решить неравенство:

. .

а) х < 2; в) 0 < х < 2; а) х ≤ 3; в) 0 < х ≤ 3;

б) х > 2; г) х < 0, х > 2. б) х > 3; г) х > 2.

4. Найдите натуральное значение параметра р, при котором множество решений неравенства содержит пять целых чисел:

(1 + х)(р – х) ≥ 0. х(х – р) ≤ 0.

а) 1; в) 3; а) 1; в) 4;

б) 2; г) 4. б) 2; г) 3.

5. Найти область определения функции: -13-

у = . у =

а) (-1,1; 0) U (1,2; +∞); в) (-∞; 0) U [1,2; +∞); а) [-∞; -3]; в) (-∞; -3] U [3; +∞);

б) [-1,1; 0] U [1,2; +∞]; г) (0;1,2). б) [3; +∞); г) (-∞; -3) U (3; +∞).

Ключ ответов к тесту:

12345В-1авгвбВ-2вбвввIV. Подведение итогов.

ТЕМА 4. Решение иррациональных неравенств.

Занятие 1.

Цели занятия: - повторить понятие «иррациональное неравенство»,

- повторить алгоритм и отработать навык решения

иррациональных неравенств базового уровня сложности.

Ход занятия:



  1. Теоретический материал.

Под иррациональными неравенствами понимаются неравенства, в которых неизвестные величины находятся только под знаком корня (радикала). Обычный способ решения таких неравенств заключается в сведении их к рациональным неравенствам. Освободить иррациональное неравенство от корней иногда удается путем возведения обеих частей неравенства в степень корня. Помни: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное исходному неравенству. Если обе части неравенства возводят в четную степень, то получается неравенство, которое будет равносильно исходному лишь тогда, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

  1. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

Рассмотрим несколько заданий, в которых необходимо решить иррациональное неравенство.

1. . ОДЗ: х-5 ≥0, х≥5.

Возведем обе части неравенства в квадрат, получим x-5<1, x<6.

Учитывая ОДЗ, изобразим решение на числовой прямой:.

Ответ: [5; 6).



2. ОДЗ: -х0, х0

Разделим обе части неравенства на неотрицательное выражение, получим

(х+1) > 0, х+1>0, x>-1.

Найдем пересечение полученного множества с ОДЗ: .

Ответ: (-1; 0].

3. . ОДЗ: х0.

Левая часть неравенства неотрицательная, правая часть отрицательная.

Следовательно, неравенство выполняется при всех допустимых значениях х.

Ответ: [0; +∞).

4. . ОДЗ: 9х-20≥0, 9х≥20, .

С учетом ОДЗ правая часть неравенства тоже неотрицательная. Значит, обе части

неравенства можно возвести в квадрат:

9x-202; x2-9x+20>0, x2-9x+20=0, x1,2=, x1=5, x2=4.

x2-9x+20= (x-5)(x-4), (x-5)(x-4)>0, решив неравенство методом интервалов,

получим: x<4, x>5.

Ответ: (-∞;4) U (5;+∞).

5. . ОДЗ: x+61≥0, x≥ -61.

Правая часть неравенства при x≥ -61 может быть отрицательна.

Рассмотрим два случая:

1) х+50, х-5, тогда обе части неравенства неотрицательные и обе части

можно возвести в квадрат:

x+612 + 10x+25,

x2+9x-36>0, x2+9x-36=0, х1,2=, х1=3, х2=-12,

тогда x2+9x-36= (х-3)(х+12).

Решив неравенство(х-3)(х+12)>0 методом

интервалов ,получим: x<-12, x>3. Найдем

пересечение данного множества с множеством х≥-5 и с ОДЗ, получим x>3.





2) x+5<0, x<-5, при этом правая часть неравенства отрицательная. Такое

неравенство не верно, т.е. рассматриваемый промежуток не содержит

решений исходного неравенства.

Ответ: (3; +∞).



6. . ОДЗ: x+7

Правая часть неравенства может быть отрицательной. Рассмотрим 2 случая:



  1. x+1 х≥-1. Тогда х+7>(х+1)2; x+7> x2+2x+1, x2+x-6<0.

x2+x-6=0, x1,2= х1=2, x2=-3.

Решив неравенство (x-2)(x+3)<0 методом интервалов, получим -3

Найдем пересечение найденного решения с множеством х≥-1 и ОДЗ,

получим хє[-1;2).



  1. x+1<0, x<-1. Правая часть неравенства отрицательная, значит исходное неравенство верно при всех действительных значениях х, входящих в ОДЗ.

Значит, 7.

Ответом будет объединение множеств значений переменной х, полученных

в обоих случаях.

Ответ: [-7; 2).



  1. (x-1) . ОДЗ: x2-x-2≥0, х≤-1, x.

1) Корнями уравнения (x-1) являются x1=-1, x2=1; x3=2.

2) Найдем решение строгого неравенства (x-1). Разделим обе его части на .Получим: х<1.

Окончательное решение исходного неравенства видно из рисунка:

Ответ: (-∞; -1), х=2.



II. В конце занятия учащимся целесобразно предложить домашнее задание.

Решите неравенства:

1) , 3) ,

2) (х-1), 4) .



III. Подведение итогов.
ТЕМА 5. Решение неравенств, содержащих модуль.

Занятие 1.

Цели занятия: - повторить решение неравенств, содержащих знак модуля;

- закрепить изученный материал в ходе решения упражнений;

- развитие интеллектуальных способностей, обобщенных

умственных умений.

Ход занятия:


  1. Теоретический материал.

Неравенства, содержащие знак модуля, следующего вида:

(1) (3)

(2) (4)

Решить неравенства можно тремя способами. Например, рассмотрим решение неравенства :



1 способ

2 способ3 способа рассматривается как расстояние на координатной прямой.

Пример:

,

- расстояние между точками х и 1

Ответ: (-1;3).

Если а>0, то и а возводим в квадрат.

Если а<0, то (1) и (2) верны всегда, а (3) и (4) не имеют решений.



Пример:

,

(x-1)2<4,

х2-2x-3<0,

-1


Ответ: (-1;3).По определению модуля:



Пример:



или

1≤х<3. -1

Объединяем оба решения.

Ответ: (-1;3)Опорные неравенства

1) 3)

2) 4)



II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

1. Решить неравенство 2-м способом:

(x+4)2≥1 <=> x2+8x+16≥1 <=>x2+8x+15≥0 <=>(x+3)(x+5)≥01 <=>x≤-5; x≥-3.

Ответ: (-∞;-5) U (-3; +∞).

2. Решить неравенство 1-м способом:

3. Решить неравенство и указать наименьшие целые положительные решения:

x=-2 и x=2 точки, обращающие один из модулей в ноль (критические точки).

1) при х<-2 получим: -x+2-x-2≤4, -2x≤4, x≥-2. Неравенство на этом

промежутке не имеет решения.

2) при -2≤x<2 получим: -x+2+x+2≤4. 0x≤0, хєR. Решением неравенства

является промежуток -2≤х<2.

3) при х≥2 получим: х-2+х+2≤4, 2х≤4, х≤2. Решением неравенства

является х=2.

Ответ: [-2;2]; 1.



Задания для самостоятельного решения.

1. . Ответ: нет решений.

2. . Ответ: нет решений.

3. . Ответ: -8

4. . Ответ: x<-2, x>0.

5. . Ответ: (-∞;-5) U (3;+∞).



III. Подведение итогов.
Урок – практикум.

Цели занятия: - отработка умений и навыков решения различных видов

неравенств;

- коррекция умений, полученных на занятиях;

- развитие самостоятельности, умений самоконтроля.

Ход занятия:


  1. Актуализация опорных знаний учащихся.

  2. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

1 уровень (базовый).

Решите неравенства:

1. 6-8x≥5x+19. Ответ: (-∞;-1].

2. 3x-11<7x+9. Ответ: (-5;+ ∞).

3. 7-2x<-23-5(x-3). Ответ: x<-5.

4. 8x+12>4-3(4-x). Ответ: x>-4.

5. 1-3x≤2x-9. Ответ: x≥2.

6. 7-5x≥-11-11x. Ответ: x≥-3.

7. (2-x)(x+3)≥0. Ответ: [-3;2].

8. (1-x)(x+4)>0. Ответ: (-4;1).

9. x2<0,81. Ответ: (-0,9; 0,9).

10. x2≥0,04. Ответ: (-∞;-0,2] U [0,2;+ ∞).

11. 4x2≤1. Ответ: -0,5≤x≤0,5.

12. . Ответ: (-∞;-3] U [3;+ ∞).

13. (x-2)2(x+1)>0. Ответ: (-1;2) U (2;+∞).

14. 9x2+6x+1>0. Ответ: (-∞;-)U .

15. . Ответ: x≤-2,4; x≥4,4.

16. . Ответ: .

17. . Ответ: x>2,5.

18. . Ответ: y>-4.

19. . Ответ: x – любое.

20. . Ответ: x – любое.

21. . Ответ: нет решений.

2 уровень (повышенный)

Решить неравенства:



  1. x4-4x3+4x2-1≤0. Ответ: [1-; 1+].

  2. x4-6x3+9x2-4≥0. Ответ: (-∞; ] U [1; 2] U [; +∞).

  3. 2-5х|≥6. Ответ: (-∞; -1] U [2; 3] U [6; +∞).

  4. Найти сумму целых решений неравенства лежащих на

промежутке [-8; 8]. Ответ: 5+6+8=19.
III. Подведение итогов.

Урок контроля знаний.

Цели занятия: - проверить уровень усвоения учащимися изученного материала

по теме «Решение неравенств различных видов».

Ход занятия:


  1. Организационный момент.

  2. Итоговое тестирование по теме «Решение неравенств».

Вариант I Вариант II

1. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

4(х – 7) – 2(х + 3) ≤ -10. (х – 1) + 7(х + 2) < 27.

а) 7, в) 12, а) 2, в)1,

б) 0, г) 5. б) 0, г) 3.

2. Найдите наименьшее целое решение неравенства:



а) 1, в) 2, а) 0, в) 2,

б) 0, г) 3. б) 1, г) 4.

3. Решите неравенство:

-2х2 + 3х + 2 ≥ 0. -6х2 – х + 1 > 0.

а) свой ответ, а) свой ответ,

б) (-∞; -Ѕ) U ( 2; +∞), б) (-Ѕ; ⅓),

в) [-Ѕ; 2], в) (-∞; -Ѕ) U (⅓; +∞),

г) (-∞; -Ѕ] U [2; +∞). г) (-∞; -Ѕ] U [⅓; +∞).

4. Решить неравенство:



а) [-3; 2], в) (-3; 2), а) (-∞; 1,5), в) (-∞; 1,5] U [8; +∞),

б) [-3; 2), г) (-3; 2]. б) (1,5; 8), г) (-∞; 1,5) U (8; +∞).

5. Решите неравенство.

׀ х - 1׀ ≤ 2. ׀х - 4׀ ≥ 5.

а) -1 ≤ х ≤ 3, в) х < -1, а) х > 1, в) х ≥ -1,

б) х ≤ -1, г) х ≤ 3. б) х ≥ 9, х ≤ -1, г) х > 9.

6. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

х2 + 7х ≤ 30. 3х – х2 > -40.

а) 12, в) 13, а) 8, в) 10,

б) 14, г) 0. б) 9, г) 12.

7. Решить двойное неравенство:


-3-1. -3-1.

а) < х ≤-3, в) ≤ х ≤-3, а) ≤ х ≤-2, в) х < -2,

б) х ≤ , г) х ≥ -3. б) < х <-2, г) х >.

8. При каких значениях х имеет смысл выражение:



а) (-∞; 2), в) (2; 3], а) (-∞; -2,5] U [8; +∞), в) (-∞; 2,5),

б) (2; 3), г) (2, 3]. б) (-∞; -2,5)U (8; +∞), г) (8; +∞).

9. При каких значениях параметра р квадратное уравнение имеет

действительные корни:

х2 – 12рх – 3р = 0 х2 + 2рх + (р + 2) = 0

а) (-∞; -0,5], в) [0; +∞), а) (-∞; -1), в) (-∞; -1] U [2; +∞),

б) (-∞; -1/12] U [0; +∞), г) (-0,5; 0). б) (-∞; -1], г) (2; +∞).




Ключ к тесту:

123456789В-1вбввабвбвВ-2ввбббгабвIII. Подведение итогов.



следующая страница >>