Основные методы решения иррациональных уравнений - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Основные методы решения иррациональных уравнений - страница №1/1

Учитель: Зыкова О.Е. Конспект урока

Класс: 11 – физико-математический профиль.

Тема урока: Основные методы решения иррациональных уравнений

Тип : Урок обобщения и систематизации знаний.

Форма урока: семинар

Цели урока:

1. Систематизировать способы решения иррациональных уравнений; стимулировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения, научить применять полученные знания при решении уравнений повышенного уровня сложности.

2. Развивать логическое мышление, память , познавательный интерес, продолжать формирование математической речи и графической культуры, вырабатывать умение обобщать, делать выводы.

3. Приучать к эстетическому оформлению записи в тетради и на доске, прививать аккуратность, учить умению выслушивать других и умению общаться.



Оборудование: компьютер, экран, проектор для показа презентаций, раздаточный материал по теме урока.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний.

  3. Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений,

рассмотрение новых.

  1. Закрепление

  2. Итог урока

  3. Домашнее задание

Ход урока

  1. Организационный момент: сообщение темы урока, цели урока.

  2. Актуализация знаний.

Вспомним, что иррациональным уравнением называется такое уравнение, в котором переменная находится под знаком радикала. Решение иррационального уравнения основывается, как правило, на сведении его к равносильному с помощью элементарных преобразований. Ранее нами были рассмотрены некоторые способы решения иррациональных уравнений: а) уединение радикала и возведение в квадрат обеих частей уравнения (иногда не один раз) б) определение области допустимых значений неизвестного.

Устная работа.

  1. Какие из следующих уравнений являются иррациональными:

а) x + = 2; б) x=1+x; в)у +=2; г) =3?

Ответ: а), в), г).

  1. Является ли число x0 корнем уравнения:

а)  =  , x0 = 4; б) = , x0 = 2; в)  = -  , x0 = 0?

Ответ: а)нет, б)да, в) нет.

  1. Выясните, при каких значениях x имеет место равенство:

а)  = ; б)  = 

Ответ: а)при x , б) при x.

  1. Не решая следующих уравнений, объясните, почему каждое из них не может иметь корней:

а)  +  = - 2; б)  +  = - 4;

в)+ = - 1; г)  + = - 1.



Ответ: при каждом допустимом значении переменной сумма двух неотрицательных чисел не может быть равна отрицательному числу.

  1. Найдите область определения функции:

а) у = ; б) у =  + ; в) у =  + .

Ответ: а).
В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и помнить и другие методы решения иррациональных уравнений, о которых мы сегодня и будем говорить: метод исключения радикалов в иррациональном уравнении, умножение на сопряженный множитель; приведение к уравнениям, содержащих абсолютную величину; графический и функциональный методы решения иррациональных уравнений; использование неравенства Коши при решении иррациональных уравнений; использование свойств уравнения вида f(f(x)) = x и др. методы.

Группа ребят подготовили задания по одному из методов решения. Они вам покажут, как их применяют, вы должны записывать решение и задавать вопросы.



  1. Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений, рассмотрение новых.

1-й ученик.

  1. Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональным.

Рассмотрим уравнение вида  Прежде всего, остановимся на области допустимых значений иррационального уравнения, под которой будем понимать множество таких значений переменной, для которых определена каждая функция, входящая в уравнение.

Например, для уравнения  -  =5 областью допустимых значений служит множество решений системы неравенств то есть область допустимых значений данного уравнения есть пустое множество. Значит, уравнение решений не имеет.

Рассмотрим еще один пример  = 0. Областью допустимых значений данного уравнения служит множество решений системы неравенств то есть область допустимых значений данного уравнения есть одноэлементное множество. Непосредственная подстановка числа 2 в уравнение показывает, что 2 –его корень.

2. Как уже говорилось, основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n- четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.

а) Если n = 2k+1, то уравнение  = h(x) равносильно на множестве действительных чисел уравнению g(x) =(h(x))2k+1.

б) Если n = 2k, то уравнение  = h(x) равносильно на множестве действительных чисел системе 

Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», после чего обе части уравнения возводятся в степень n.

Решим уравнения:



Пример 1. .

Решение

Область допустимых значений: .

Преобразуем уравнение: . Возведем обе части этого уравнения в квадрат: , .

Полученное уравнение равносильно смешанной системе:



система равносильна совокупности двух систем:



 или 

Ответ: x = 1.


Пример 2. Решить уравнение и установить, при каких действительных значениях a уравнение имеет решение.

Решение

Перепишем данное уравнение так:

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, получим:

или

Снова возведем обе части последнего уравнения в квадрат, получим



Остается установить, при каких значениях a уравнение имеет решение.

Подставляя в данное уравнение вместо x выражение получим:



Последнее равенство рассмотрим на каждом из четырех промежутков:



Если , то равенство примет вид: и выполняется тождество. Следовательно, при уравнение имеет решение.

Если , то равенство примет вид: которое не выполняется при ; следовательно, при a = 0 уравнение не имеет решений.

Если , то равенство не выполняется, так как

Если , то равенство выполняется, так как

Итак, при и при уравнение имеет единственный корень

При уравнение не имеет решений.
Ответ:

1. При уравнение имеет единственный корень

2. При уравнение не имеет решений.
2-й ученик. ( Введение новой переменной)

Замена переменной в иррациональном уравнении используется довольно часто. Она, как правило, позволяет свести данное иррациональное уравнение к рациональному или, по крайней мере, упростить его.



Пример 1. 2x2+3x -3 + =30.

Решение. Пусть y= , у Тогда  = у2 - 9 и уравнение примет вид: у2 - 9 – 3 + у = 30. Решаем его:

 система равносильна совокупности двух систем:
 или 

Возвращаясь к исходной переменной, получим: = 6,  = 36,  - 27 = 0, x1= 3, x2 = - 4,5. Т.к. все совершенные преобразования были равносильными, то проверять эти числа не следует.



Ответ: - 4,5; 3.

Пример 2. .

Решение. Выражения и являются взаимно обратными, если они не равны нулю, т. е. , т. е. область допустимых значений:

В самом деле: .

Пусть , получим смешанную систему:

система равносильна совокупности двух систем:


 или 

Возвращаясь к старой переменной, получим:



- это значение переменной входит в область допустимых значений и является корнем уравнения.
Ответ: 2,5.
Пример 3.

Решение.

Пусть тогда отсюда можно исключить x и получить уравнение, содержащие переменные u и v.

Из системы уравнений исключим x:

Подставляя значения в первоначальное уравнение, получим:

Приходим к системе уравнений:

Подставим значения u из второго уравнения в первое, получим:





Это биквадратное уравнение. Положим тогда придем к квадратному уравнению: которое имеет два корня: не удовлетворяет условию и является посторонним корнем. Находим:

Ответ: - 3
3-й ученик. ( Выделение полного квадрата (квадрата двучлена) и приведение к уравнениям, содержащих абсолютную величину )

Пример 1.

Решение.

Область допустимых значений:

Замечаем, что под знаками корней находятся полные квадраты. Преобразуем их:

Приходим к уравнению, содержащему модули:


При получаем уравнение Это значение x не входит в промежуток

При получаем уравнение Это значение также не входит в промежуток и не может быть корнем уравнения.

При получаем уравнение - не является корнем уравнения.

При получаем - не является корнем.


Ответ: корней нет.

Пример 2.  + =1

Решение. Считая x 1, произведем замену  = у, у и решим уравнение (у2= x -1, тогда x = у2 +1):


 +  = 1  + =1 + =1

   2.

Сделаем обратную замену и решим неравенство:



 4 5

Таким образом, уравнение имеет бесконечно много корней.



Ответ: 

Пример 3.

Решение.



. Раскроем модули. Т.к. -1 ≤ сos0,5 x≤ 1, то -4 ≤ сos0,5x - 3 ≤ -2, значит, . Аналогично,

Тогда получим уравнение :3- - 3 + 2  = 1

cos0,5x = 1

x = 4πn, nZ.

Ответ: 4πn, nZ.

4-й ученик. (Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении, умножением на сопряженный множитель)


Цель умножения на сопряженное выражение ясна: использовать тот факт, что произведение двух сопряженных выражений уже не содержит радикалов.

Пример 1.

Решение.

Область допустимых значений или

Умножим обе части уравнения на выражение сопряженное левой части уравнения, т. е. на получаем:



Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:



сложим уравнения и получаем:

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, придем к линейному уравнению Это значение входит в область допустимых значений и является корнем уравнения.



Ответ:
Пример 2.

Решение.

ОДЗ - множество всех действительных чисел т. е ..

Преобразуем уравнение

В левой части уравнения получили неполной квадрат разности двух выражений. Умножим обе части уравнения на (). В левой части получим сумму кубов этих выражений - корней нет.



Ответ: решений нет.
5-й ученик. (Применение неравенства Каши и свойств уравнения вида f(f(x)) = x)
Применение неравенства Коши.

При решении некоторых иррациональных уравнений иногда бывает полезно воспользоваться известным классическим неравенством Коши: для любых положительных чисел a и b справедливо неравенство:



, где знак равенства достигается тогда и только тогда, когда a=b.

Пример 1.

Решение. В силу неравенства Коши имеем:



следовательно, левая часть неравенства не превосходит x + 1. В самом деле, сложим обе части неравенств,
получим:

Таким образом, из данного уравнения следует, что правая часть, будучи равна левой, также будет меньше или равна x + 1, т. е. значит x = 1. Это значение и является единственным решением данного уравнения.


Ответ: 1.

Применение свойств уравнения вида f(f(x)) = x


Теорема. Если y = f(x) - монотонно возрастающая функция, то уравнения

равносильны.

Замечание. Теорема имеет обобщение. Если y = f(x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения и равносильны.

Применение этой теоремы к решению иррациональных уравнений.


Пример 1.

Решение.

Перепишем уравнение к виду:

Рассмотрим функцию Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение . В соответствии с теоремой заменяем его равносильным уравнением или Преобразуем уравнение, а затем решим его, как квадратное относительно , получим:



Ответ:

Пример 2.

Решение.

Преобразуем уравнение:



Полученное уравнение имеет вид: , где

Согласно теореме имеем равносильное уравнение:



Ответ:

6-й ученик (Функционально-графический метод)
Использование монотонности функции.

В школьном курсе математики изучаются свойства многих элементарных функций. Их иногда с успехом можно применять и при решении иррациональных уравнений.

Иногда встречаются уравнения, корень которого «легко увидеть», порой он бывает единственным. Отыскав его, остается доказать, что других корней уравнении е не имеет. В этом случае бывает полезным прибегнуть к исследованию монотонности функций, участвующих в уравнении.

Теорема. Если уравнение имеет вид где возрастает (убывает), или где и «встречно монотонны», т.е. возрастает, а убывает и наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.

Для выяснения монотонности той или иной функции , входящей в уравнение , можно использовать , прежде всего, свойства элементарных функций. Строгая монотонность исследуемой функции легко выясняется с помощью производной.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример . .

Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно: . Теперь заметим, что левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая. Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак, – единственный корень.

Ответ: .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Традиционный метод решения уравнений такого вида хорошо известен. Впрочем, легко заметить, что – корень. Левая часть уравнения задает возрастающую функцию, правая – константу. Следовательно, данное уравнение может иметь не более одного корня. Итак, – единственный корень.

Ответ: .

  1. Графическое решение иррациональных уравнений



Пример . Решить графически уравнение

Решение.

Для графического решения уравнения, достаточно построить графики функций и в одной системе координат, и найти абсциссы их точек пересечения, которые и будут являться решениями уравнения.

Графиком функции является парабола с вершиной в точке (0; -1), ветви которой направлены вверх, пересекающая ось OX в точках: и . Для более точного построения графиков можно взять несколько дополнительных точек.

Графики имеют одну точку пересечения, абсцисса которой равна 1.


Ответ: x = 1.
Пример . Решить графически уравнение

Решение.

Построим графики функций и , и найдем абсциссы их точек пересечения.

График функции получается из графика функции , смещением вдоль оси ОХ влево на 1 единицу. Графиком функции является прямая, проходящая через точки (1; 0) и (0; -1).


Графики имеют одну точку пересечения с абсциссой 3.

Ответ: x = 3.

IY. Закрепление.

Найти идею решения уравнений (1-10)

1. (ОДЗ -  )

2. х = 2

3. х2 – 3х + (замена)

4. (выделение полного квадрата)

5. (Сведение уравнения к системе с помощью введения переменной.)

6. (умножением на сопряженное выражение)

7. т.к. . То данное уравнение не имеет корней.

8. Т.к. каждое слагаемое неотрицательно, приравниваем их к нулю и решаем систему.

9. 3

10. Найдите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько).





Y. Итог урока:

  1. Какие методы решения иррациональных уравнений мы рассмотрели?

  2. Какие из этих методов используются при решении уравнений других типов?

  3. Какой из этих методов вам понравился больше всего и почему?

YI. Домашнее задание: Из предложенных уравнений выбрать не менее 5 любых уравнений и решить их.



  1. (х + 6)2 -