Определение амплитуд и частот колебаний - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Лабораторная работа №3 генератор квазигармонических колебаний с резонансным... 1 108.29kb.
3-4 неделя. Определение понятий (Задания выполняются учителем индивидуально) 1 16.93kb.
Лекция №8 (19. 03. 10) 1 Произведение (композиция) отображений Определение 1 38.35kb.
1. Экспериментальное определение коэффициента влaгопроводности супеси... 1 155.28kb.
Механические колебания 1 109.45kb.
Контрольный срез по физике 9 класс 1 17.04kb.
Лекция №8 Характеристики информационных каналов 1 74.85kb.
1. Категорирование помещений и зданий пожаровзрывоопасного объекта... 1 22.28kb.
Теоретический зачет по курсу "современные концепции естествознания... 1 22.07kb.
Примеры расчета фнч на основе оу с мос 1 28.75kb.
Зависимость скорости распространения света в веществе от частоты... 1 18.11kb.
Становление молодых специалистов 1 36.63kb.
Публичный отчет о деятельности моу кассельская сош 2 737.71kb.
Определение амплитуд и частот колебаний - страница №1/1

Расчетно-графическая работа 2
Определение амплитуд и частот колебаний

аппаратов химических технологий.

Цель работы. Известно, что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов и приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). Если частоты этих колебаний совпадут с резонансными, а их амплитуды окажутся достаточно велики, то может произойти частичное или полное разрушение аппарата. В результате возможны немалые экономические потери, а также травмы и человеческие жертвы. Чтобы избежать подобного развития событий, целесообразно выполнить предварительные математические расчеты, связанные анализом сложных колебаний, воздействующих на аппараты, разложение этих колебаний на гармонические составляющие и сравнение их с резонансными частотами.

Теоретические положения. Пусть на отрезке задана некоторая функция . Осуществляя периодическое продолжение этой функции влево и вправо по оси , получим периодическую функцию - рис. … Так как - функция периода ( полупериод), кусочно-монотонная на отрезке , то ее можно разложить в ряд Фурье для произвольного отрезка :
, (1)

где и - коэффициенты Фурье, определяемые по формулам:



, (2)

, (3)

. (4)

При решении различных технических и научных задач имеют место частные случаи , а именно, когда исходная функция четная, т.е. и, когда эта функция нечетная, т.е. . Отсюда следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат – рис…, а нечетной – симметричен относительно начала координат – рис…. Для нас в данных случаях ыажным является то, что ряд Фурье (1) существенно упрощается. Так, для четной функции он принимает вид:



, (5)

где


, (6)
. (7)

Т.е. состоит из свободного члена и косинусоидальной части.

Соответственно, ряд Фурье для нечетной функции записывается как:

, (8)

где


(9)

и состоит, таким образом, только из синусоидальной части.

Возможен вариант графика , когда функция вроде бы не являя-ется ни четной, ни нечетной, однако в результате параллельного переме-щения рисунка вдоль оси вверх или вниз на величину , он становится нечетным относительно новой оси. Такой график будем называть условно-нечетным. Ряд Фурье для него будет иметь вид:
, (10)

причем


, (11)

а

, (12)

т.е. коэффициенты и вычисляются по общим формулам (2) и (4).

Порядок выполнения работы.

- переписать уравнение предполагаемого колебания, воздействующего на химический аппарат - , заданный отрезок и дополнительное условие (если оно имеется),

- изобразить исходную функцию на рисунке, при этом возможны два варианта:

1) если уравнение задано на отрезке , то сделать первый рисунок для заданного отрезка - это будет функция ,

используя дополнительное условие, построить на втором рисунке функцию для симметричного интервала ,

2) если уравнение задано на отрезке , то сразу сделать рисунок для ,

- на следующем рисунке изобразить периодическую функцию , добавив слева и справа от по одному периоду,

- исходя из графика , записать ряд Фурье в виде:

(5), если функция четная,

(8), если функция нечетная,

(10), если функция условно-нечетная,

во всех случаях принять n=5,

- записать выражения для коэффициентов Фурье в виде:

(6), (7), если функция четная,

(9), если функция нечетная,

(11), (12), если функция условно-нечетная,

- вычислить в MathCad все требуемые коэффициенты с точностью , дополнительно посчитав еще или численно, методом Симпсона,

- записать конкретное разложение функции в ряд Фурье, подставив в формулы (5), (8) или (10) числовые значения,

- выписать выражения для пяти частичных сумм полученного ряда:

,

- в Excel посчитать значения всех функций , а также теоретический график для 21 точки аргумента в пределах ,

- сделать 6 рисунков - и один под другим, в одном масштабе,

Примечание. Рисунки удобно разместить следующим образом:

Лист 1 - и ,

Лист 2 - ,

Лист 3 - ,

Лист 4 -

- сделать вывод по работе в следующем виде:

“На химический аппарат воздействует сложное механическое колебание

= (привести полученную формулу),

которое порождает гармоники с амплитудами и частотами, равными: “





Варианты исходных данных. Все варианты разделены на две группы в зависимости от исходного интервала:

а) задан отрезок функции на интервале и дополнительное условие или . Используя это дополнительное условие, требуется вначале достроить график на весь симметричный интервале ,



б) задан отрезок функции на симметричном интервале .




Отрезок функции

Интервал

Дополнительное условие

1







2







3








4








5








6








7








8







9







10







11








12








13







14








15








16








17








18








19







20








21








22








23








24








25







26







27







28








29








30









Пример расчета.


  1. Дано. Отрезок функции


x є [0; π]


  1. Построим

    1. график заданной функции на интервале [-π;π]:




    1. график периодической функции, преобразуя заданную функцию:



III. Конкретизация ряда Фурье.
Так как fт (х) – четная, ряд имеет вид:

,
При n = 5 и l = π, имеем






  1. Коэффициенты и ряд Фурье.

  1. Вычислим коэффициенты Фурье, пользуясь формулами:


, т. е.



  1. Коэффициент а3 найдем численным методом Симпсона.


Формула Симпсона имеет вид:






Выберем шаг

Значения функции в заданных точках уi = f (xi) = - cos (xi/2) · cos (3xi)


x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

х10

0

π/10

π/5

3π/10

2π/5

π/2

3π/5

7π/10

4π/5

9π/10

π

y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

у10

-1

-0,581

0,294

0,847

0,655

0

-0,476

-0,432

-0,095

0,092

0

В итоге получаем:






  1. Запишем разложение функции в ряд Фурье.



  1. Выпишем выражения для 5 первых частичных сумм.




  1. Найдем амплитуды и частоты гармонических колебаний.

Амплитуды:

аф = 1

а1 = 0,848

а2 = 0,848

а3 = 0,920

а4 = 0,920

а5 = 0,946

Частоты:


wФ = 1/2

w1 = 1

w2 = 2
w3 = 3

w4 = 4



w5 = 5