Метод решения уравнения Пелля в системе mn параметров - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Урок алгебры в 8 классе на тему «Квадратные уравнения» учитель математики... 1 83.03kb.
Выпускная работа по «Основам информационных технологий» 1 185.35kb.
Тема: Иррациональные уравнения 1 35.75kb.
«Уравнения и неравенства, содержащие модули и параметры», обретение... 1 108.88kb.
Уравнений (5) линейно независима, т е. что r = m 1 29.21kb.
Общая стратегическая модель Портера 1 294.04kb.
Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10 химико-биологическом... 1 114.52kb.
Урок 27 Приемы и правила стрельбы из стрелкового оружия 1 24.61kb.
Основные методы решения иррациональных уравнений 1 159.02kb.
Урока: «Мораль» Эпиграф: «Верю я, придет пора, Силу подлости и злобы... 1 131.9kb.
Выразительное чтение на уроках литературы 1 371.6kb.
Характеристика текстовой задачи и методика работы с ней 1 263.36kb.
Публичный отчет о деятельности моу кассельская сош 2 737.71kb.
Метод решения уравнения Пелля в системе mn параметров - страница №1/1

Автор: Э.Г.Фильчев

Адрес:Россия.188760.Ленинградская область

г.Приозерск .ул.Привокзальная 5. кв.60.

Уравнение Пелля в системе mn параметров

Уравнение Пелля

В своей книге Г.Эдвардс пишет - В 1657г. П.Ферма предложил английским математикам задачу “ Если дано произвольное число, которое не является квадратом, то найдется также бесконечное количество таких квадратов, что если этот квадрат умножить на данное число и к произведению прибавить единицу, то результатом будет квадратом “. [ Г.Эдвардс. Последняя теорема Ферма.Генетическое введение в АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ. Изд.МИР.М. 1980. Стр.42].

В современном изложении уравнение Пелля имеет вид Аx2 + 1 = y2 , где А, x, y – целые числа. Решение этого уравнения не тривиально ( см. стр.42÷47). Здесь не ставится задача ревизии известных методов решения уравнения Пелля.

Целью данной работы является рассмотрение метода решения уравнения Пелля с помощью системы mn параметров.



Метод решения уравнения Пелля в системе mn параметров

Пусть имеем в качестве исходного уравнения



Аx2 + 1 = y2 ( 1 )

Где А, x, y – целые числа. Необходимо предложить метод нахождения указанных троек целых чисел. Основной особенностью этой задачи является то, что в качестве исходных данных задано только число А как множитель неизвестного числа Аx2 . Преобразуем уравнение (1).



Аx2 = ( y – 1)∙( y + 1 ) ( 2 )

Из уравнения ( 2 ) следуют два возможных варианта значений А и x2.



А = ( y – 1) x2 = ( y + 1 ) ( 3 )

А = ( y + 1) x2 = ( y - 1 ) ( 4 )

Использование формул (2),(3),(4) дает метод получения решений уравнения ( 1 ), но при этом значения x могут быть и нецелыми. Метод решения рассмотренный Эдвардсом ( см. стр.42÷47) нельзя считать тривиальным .


Обратимся к системе mn параметров.

Слева в уравнении (1) имеет место сумма( Аx2 + 1).



Известно, что имеется множество основных пифагоровых треугольников ПТ(X,Y,Z), для которых , разность между гипотенузой и одним из катетов равна единице. Например ПТ(4,3,5),ПТ( 12,5,13) , ПТ(40,9,41) . Для таких ПТ X + Z = Y2. Так , например, 4 + 5 = .

  1. Допустим, что уравнение Пелля- это запись элементов основного пифагорова треугольника вида ПТ( X, Y, X + 1)

X2 + Y2 = ( X + 1 )2 X2 + Y2 = X2 + 2 X + 1 Y2 = 2 X + 1

Аx2 + 1 = 2 X + 1 X =



Поэтому, элементы уравнения Пелля, можно записать в виде

X = , Y = y , Z = ( 5 )

ПТ1( , ( 6 )



  1. Допустим, что уравнение Пелля- это запись элементов основного пифагорова треугольника вида ПТ( X, Y, X + 2)

X2 + Y2 = ( X + 2 )2 X2 + Y2 = X2 + 4X + 4 Y2 = 4(X + 1)

Аx2 + 1 = 4(X + 1) X =



Поэтому, элементы уравнения Пелля, можно записать в виде

X = , Y = = y , Z = ( 7 )

Пример 1. Пусть А = 7, x = 3 Аx2 + 1 = 64 y = 8

X = = 15, Y = y = 8, Z = = 17

ПТ2 ( , ( 8 )

Где Ax2, y – элементы уравнения Пелля

X, Y, Z – элементы ПТ.

Вывод 1 Уравнение Пелля - это запись основного пифагорова треугольника вида ПТ1( X , Y, X + 1 ) или вида ПТ2( X , Y, X + 2 ).

Вывод 2 Численные значения элементов уравнения Пелля имеют функциональную связь с элементами основных пифагоровых треугольников , находящихся на двух ветвях дерева ПТ, а именно

ПТ1( X1 , Y, X1 + 1 ) или вида ПТ2( X2 , Y, X2 + 2 ),

где X1 = , X2 = , Y= y

x12 = , x22 =



Ax2, y – элементы уравнения Пелля.

Вывод 3 Предлагаемый метод решения уравнения Пелля дает

возможность гарантированного результата при существенном

сокращения вычислений.
Алгоритм решения уравнения Пелля в системе mn параметров
Алгоритм решения уравнения Пелля имеет вид

1.Имеем матрицу дерева ПТ1(X1 , Y, X1 + 1) и матрицу ПТ2( X2 , Y, X2 + 2 )

(см. сайт fgg-fil1.narod.ru/fmat_pell.mcd)

2. Для каждого из значений x12 = , x22 = и исходного значения А

проверяется отсутствие дробного результата .

3.При выполнении п.2, получаем искомое решение.

Пример 1 Пусть задано А = 7. Необходимо найти решение уравнения

Ax2 + 1 = y2. Условие x, y – целые числа.

В таблице 1 представлен фрагмент ветви дерева ПТ1( X1 , Y, X1 + 1 ).

В таблице 2 представлен фрагмент ветви дерева ПТ2( X2 , Y, X2 + 2 ).

Для каждого из значений x12 = , x22 = и исходного значения А

проверяем отсутствие дробного результата . Случай отсутствия

дробного результата – искомое решение.

Таблица 1 ( A = 6 )

X Y Z Ax2 x2 x



Таблица 2 ( A = 11 )

X= Ax2 Y Z= X+2 y= x2 x

В таблице1 решение представлено строкой 2, при этом x = 2, Ax2 = 24, y= 5

→ 24 + 1 = 52 .

В таблице 2 решение представлено строкой 3, при этом x = 3, Ax2 = 99, y= 10

Программа расчета матриц ПТ1( X1 , Y, X1 + 1 ) и ПТ2( X2 , Y, X2 + 2 ) представлена на сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat_pell_1.mcd.

Решение уравнений вида Axk + 1 = y2

Предложенный метод можно использовать и для решения уравнений вида Axk + 1 = y2. В качестве примера используем уравнение Ax3 + 1 = y2.

Обратимся к данным таблицы 1.В строке 3 имеем 2X = 48 Ax3 = 48= 6∙23.

A = 6, x = 2.

Этот пример показывает, что если в таблице 1 ( полученной при достаточно большом значении g), будет получен результат 2X = Axk, где

X, A, x, kцелые числа, то это и есть решение уравнения Axk + 1 = y2.

Решение уравнений вида Ax2 + B = y2

Задача “ Для заданных целых значений А и В, необходимо предложить метод определения значений (решений ) x уравнения Ax2 + B = y2.

Допустим, что уравнение Пелля- это запись элементов основного пифагорова треугольника вида ПТ( X, Y, X + B)

X2 + Y2 = ( X + B )2 X2 + Y2 = X2 + 2B∙X + B2 Y2 = 2BX + B2

Аx2 + B = 2BX + B2 X =

где Ax2, y – элементы уравнения Пелля

X, Yэлементы основного пифагорова треугольника.

Поэтому, элементы уравнения Пелля, можно записать в виде

X = , Y = , Z = ( 9 )

ПТ ( , ( 10 )



1. Из уравнений ( 9 ) и ( 10 ) следует, что если в качестве исходного элемента имеем значение В, то можно определить ( например, из матрицы дерева ПТ) и множество ПТ вида ПТ( X, Y, X + B). Обозначим это множество – РР.

2. Далее, из уравнения ( 9 )

Аx2 = 2ВX + В2 - В ( 11 )



Теперь, имея значения В и X, для каждого из ПТ множества РР создадим массив ( матрицу М ) значений Аx2. Обозначим эти элементы- Ci.

3. Для заданного значения А, определим такие элементы матрицы М, для которых выполняются условия

x2 = , x = - целые числа.

Выполнение п.3 – вариант решения поставленной задачи.

Пример 2 Пусть задано В = 8, А = 2. Необходимо найти решение уравнения

Ax2 + 8 = y2.

Условие: А, x, y – целые числа,



Решение На основании уравнения ( 11 )

Аx2 = 2ВX + В2 - В



Рассмотрим ПТ ( 21, 20, 29 ). Здесь X = 21.

Аx2 = 2∙8∙21 + 82 – 8 = 392 = 2∙142 = 8∙72



Итого: Получили два решения (А = 2, x = 14), ( А = 8, x = 7).

Вывод 4 Предлагаемый метод решения уравнения Пелля дает возможность решения уравнений вида Ax2 + B = y2.

Разработка программы расчета множества ПТ( X, Y, X + B) не представляет особого труда. В качестве типовой программы см. сайт

fgg-fil1.narod.ru/fmat_pell_1.mcd.

Автор с благодарностью примет конкретные предложения, замечания и оценки.