Курсовая работа Применение метода конформных преобразований к уравнениям математической физики - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Курсовая работа Применение метода конформных преобразований к уравнениям математической - страница №1/1

 

 

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ



 

Институт Фундаментального Образования

 

Кафедра высшей математики



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

Курсовая работа 



Применение метода конформных преобразований к уравнениям математической физики.
 

 

 



 

 

 



 

 

Студент ИФО – 3 – 2



Овчинцев Евгений Михайлович

Руководитель проекта

профессор кафедры

высшей математики

Арефьев В.Н.

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



Москва 2010 год

Содержание:

Введение

§1. О сохранении гармоничности функции при конформном отображении одной области на другую.

§2. Задача Дирихле.

§3. Практическая задача.

Замечание 1: Метод конформного преобразования в электростатике.

Замечание 2: Задача Дирихле в односвязной области. Интеграл Пуассона.

Список литературы


Стр.3

Стр.4


Стр.5

Стр. 6


Стр.9

Стр.11


Стр. 14


Введение.

Некоторые из классов задач уравнений математической физики требуют применения методов теории функции комплексного переменного. В частности, для решения определенных задач используют конформные преобразования.

В этой работе исследуется уравнение Лапласа для двумерного случая в плоской области при заданных граничных условиях. Имеется некоторая двухсвязная неограниченная область и для нее задаются граничные условия. Хорошо известно, что аналогичная задача решается в кольце просто. В данной работе мы конформно отобразим заданную двухсвязную неограниченную область на кольцо. Хорошо известно, что при конформном отображении свойство гармоничности сохраняется.

Определение: Функция

называется гармонической, если существуют частные производные до второго порядка включительно, все они непрерывны и она удовлетворяет уравнению Лапласа

Для отыскания гармоничности функции часто применяют методы теории функций комплексного переменного.



Определение: Комплексная функция называется дифференцируемой в точке , если существует производная

Функция называется аналитической в области , если в каждой точке области она имеет производную.

Пусть , где - действительные функции двух переменных. Тогда функции – гармонические. В самом деле, для имеющихся функций выполняются условия Коши-Римана:

Продифференцируем первое равенство по и второе по . Получим:



Для функции доказательство аналогично. Напомним, если комплексная функция имеет первую производную в области , то она бесконечное число раз дифференцируема. Отсюда, в частности вытекает, что – дифференцируемы до порядка включительно и все эти производные непрерывны, причем





§1. О сохранении гармоничности функции при конформном отображении одной области на другую.

Пусть осуществляет конформное(однолистное)8.bmp

отображение области на область . Тогда известно, что в этом случае функционал является взаимно однозначным отображением. Пусть . Тогда это отображение можно задать в виде

Используя обратное отображение, получаем



Пусть – некоторая гармоническая функция, заданная внутри области . Рассмотрим новую функцию в области





9.bmp

Найдем производные







Аналогично



Сложим уравнения:





Итак




В силу условий Коши-Римана для функций выполняются соотношения



следовательно



Т.к. отображение – конформное(однолистное), то . Отсюда



Т.е. – гармоническая функция в .10.bmp



§2. Задача Дирихле.

Пусть – гармоническая функция, заданная в области , а - граница области (Рис. 1).



Задача Дирихле: Найти функцию , удовлетворяющую условиям:

где – заданная непрерывная функция на границе области .

Известно, что в этом случае решение уравнения Лапласа существует и, притом, единственно.

Примером задачи Дирихле может быть следующая задача:24.bmp



Отметим, что кольцо – область двухсвязная.



§3. Практическая задача.

Труба радиуса помещена на заданной глубине . Найти установившееся распределение температуры в почве, окружающей трубу, если на поверхности земли она равна нулю, а температура трубы (Рис. 2).7.bmp



Решение:

Пусть – окружность.

Обозначим – температура земли в точке . Известно, что должна быть гармонической функцей, т.е. для нее выполняется уравнение

а кроме того она должна удовлетворять граничным условиям



11.bmp

Заметим, что наша область двусвязна. Отобразим конформно на круговое кольцо: (Рис. 3). В круговом кольце аналогичная задача решается просто, а именно: пусть - гармоническая функция в кольце , удовлетворяющая условиям:



Тогда решение задачи Дирихле в кольце имеет вид



Проверим, что - гармоническая.











Проверим, что выполняются граничные условия.



Докажем, что область отображается на кольцо дробно-линейной функцией



Известно, что дробно-линейная функция обладает круговым свойством, а именно: прямые и окружности отображаются в прямые или окружности (Если прямая или окружность проходят через полюс, то они отображаются на прямую, а иначе – на окружность). Напомним также определение симметричных точек. Пусть - прямая. Тогда для точки симметричной будет такая точка , которая лежит на прямой, перпендикулярной прямой , проходящей через точку и удовлетворяющая условию , где - точка пересечения этих прямых (Рис. 4).12.bmp

Если - окружность , то для точки сопряженной будет такая точка , которая лежит на луче, проходящем через центр окружности и точку и при этом . Заметим, если точка не совпадает с центром , то симметричная точка будет конечным комплексным числом. Если , то (Рис. 5).13.bmp

Известно, что при дробно-линейном отображении точки симметричные переходят в точки, симметричные по отношению к образу кривой. Напомним также, что дробно-линейное отображение является конформным(однолистным).



14.bmp

Найдем на оси две точки (Рис. 6) такие, что они являются симметричными и для оси и для окружности одновременно.





Рассмотрим дробно-линейное отображение:



Подставим :



15.bmp

Докажем, что эта функция отображает область на круговое кольцо: .



– ось . Пусть .

Тогда


То есть, и, значит, образом оси является окружность .16.bmp



Найдем образ окружности . Образом окружности будет окружность (т.к. не проходит через полюс ). Если , то и точкой симметричной будет . Заметим, что центром образа будет . Действительно, если бы центром образа была бы не точка ноль, то точка имела бы конечную симметричную точку, что противоречит сказанному выше. Значит, образом окружности будет окружность с центром в нуле. Т.е. область отображается на круговое кольцо.

Найдем . Для этого рассмотрим точку . Образом ее будет точка, лежащая на окружности . Отсюда



Поэтому решение нашей основной задачи имеет вид







где




Решим конкретный пример.

Дано: Труба радиуса помещена на заданной глубине . Найти установившееся распределение температуры в почве, окружающей трубу, если на поверхности земли она равна нулю, а температура трубы .

В данном случае решение будет иметь вид:

и график этого распределения будет иметь такой вид:



27.bmp

Замечание 1. Метод конформного преобразования в электростатике.

Метод конформных преобразований широко применяется и в других задачах, в частности, для решения двумерных электростатических задач. Рассмотрим, например, следующую задачу электростатики: найти электрическое поле нескольких заряженных проводников, потенциалы которых равны .

Мы приходим к уравнению с граничными условиями5.bmp

где – потенциал, – контур, - постоянные заданые числа.

Будем искать потенциал как мнимую часть некоторой аналитической функции

Из граничного условия следует, что функция имеет постоянную мнимую часть на контурах , ограничивающих наши проводники. Таким образом, для решения поставленной задачи достаточно найти конформное преобразование переводящее плоскость комплексного переменного на плоскость при котором границы переходят в прямые .6.bmp

Если известна такая функция , то искомый потенциал находится по формуле .

Замечание 2. Задача Дирихле в односвязной области. Интеграл Пуассона.

Исследуем задачу Дирихле в единичном круге.

Рассмотрим на плоскости единичный круг :

25.bmp









– гармоническая функция в непрерывная в ;

– заданные граничные значения.

Теорема. Пусть . Тогда

Доказательство.

Как известно, существует аналитическая функция такая, что

По интегральной теореме Коши



Возьмем точку . Тогда по теореме Коши:



Вычтем из равенства соотношение :



Отсюда


Преобразуем выражение в скобке:



Т.к. , то .

Поэтому



Поскольку , то .

Следовательно

Или


Из того, что



вытекает










Итак


Значит


Отсюда


Вернемся к задаче Дирихле в односвязной области.

Пусть - односвязная область и – гармоническая функция, непрерывная в , – граница. Пусть - непрерывна. Решим задачу Дирихле в . Отобразим на единичный круг (как известно, это всегда возможно в соответствии с теоремой Римана). Обозначим – конформное отображение области на единичный круг :

26.bmp

На единичной окружности рассмотрим функцию .

Рассмотрим гармоническую функцию

Тогда, искомое решение имеет вид





Список литературы:

1. Уравнения математической физики (Тихонов А.Н., Самарский А.А.)



2. Основы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления (Эйдерман В.Я.)