И разложимость степенных вычетов - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
И разложимость степенных вычетов - страница №1/4

АБХАЗСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ КОСМОНАВТИКИ

им. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Р. А. КАМЛИЯ
ТЕОРЕМА ФЕРМА

И РАЗЛОЖИМОСТЬ СТЕПЕННЫХ ВЫЧЕТОВ

Сухум-2008

ББК 22.131

К 18
Абхазский научный центр

Российской академии космонавтики

им. К.Э. Циолковского

Р.А.Камлия. Теорема Ферма и разложимость степенных вычетов. Абхазский научный центр Российской академии космонавтики им. К.Э.Циолковского.

Работа посвящена теореме Ферма, Рассмотрены различные свойства и соотношения чисел, которые могли бы удовлетворять уравнению Ферма. Рассмотрены вопросы разложимости степенных вычетов в сумму двух степенных вычетов и показаны свойства Пифагоровых чисел. Доказаны ряд новых теорем, с использованием которых доказывается теорема Ферма пользуясь исключительно методами элементарной теории чисел. Предназначена для специалистов и студентов занимающихся теорией чисел.




© Р.А.Камлия, 2008

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная работа является результатом многолетней работы. Различные подходы к доказательству теоремы Ферма дали ряд результатов, не все из которых в конечном счете используются при доказательстве теоремы. Они могут иметь самостоятельный интерес.

Среди математиков существует спор – ошибался или нет Пьер Ферма утверждая, что нашел оригинальный способ доказательства теоремы.

Формулировка теоремы, которую дал сам Пьер Ферма, приведена в книге П. Рибенбойма “Последняя теорема Ферма”. Она гласит: невозможно разложить куб на два куба, биквадрат - на два биквадрата, в общем случае, любую степень, большую двух, в сумму двух таких же степеней.

Как увидим в данной работе, доказательство теоремы Ферма осуществляется через разложимость степенных вычетов в сумму двух степенных вычетов.

Если имеет место разложимость степенного вычета по модулю простого числа, то разложим любой степенной вычет, но это не означает, что любая сумма двух степенных вычетов есть степенной вычет.

Есть основание полагать, что Ферма анализируя вопросы разложимости степенных вычетов пришел к своему выводу и поэтому дал именно такую формулировку теоремы.

В данной работе через разложимость квадратичных вычетов показано, что любая тройка Пифагоровых чисел содержит число кратное 3 и число кратное 5.

Свойства и соотношения чисел, удовлетворяющих уравнению Ферма, если оно вообще выполнимо, посвящен §1. Используя Теорему1 и Теорему1А можно получить известные формулы Абеля.

Замеченные свойства сравнений Эйлера и Ферма выделены в отдельный параграф §2.

Некоторые свойства степенных вычетов получены с использованием матрицы вычетов. Они изложены в §3.

Далее в §4, §5 рассмотрены свойства степенных вычетов и разложимость степенных вычетов в сумму двух степенных вычетов.

Доказательство теоремы Ферма приведено в §6. Два подхода к доказательству согласуются между собой.

Различные попытки доказать теорему Ферма сформировали содержание работы.

При написании работы не ставилось целью систематическое изложение каких то вопросов, в том числе и вопросов разложимости степенных вычетов.




§1 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И СООТНОШЕНИЯ

1.1.Теорема1. Пусть p-простое число, b и c взаимно простые и не сравнимы по модулю p. Тогда в равенстве c - b = (c-b)(c + +b ) множители правой части a = c-b и a =c + +b не имеют общего делителя.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть p - простое число и делит a . Это значит, что a 0(modp ) или c-b 0(modp ) или c b(modp ).

Последнее означает, что c = p q + r, b = p q + r,



0 r p

где: q, q ,r-целые числа.

Тогда

a = c - b = p q + r - p q r = p (q-q ) (1)

a =( p q + r) + +( p q +r) =k p +pr (2)

где: k-какое то целое число.

Так как c и b по условиям теоремы не сравнимы по модулю p, а любое число p , по модулю которого сравнимы c и b не может быть равным p.

Как следует из (1), число p делит , но он не делит потому, что для этого должен делить второе слагаемое в (2), т.е. pr , а это не возможно поскольку p простое, а r p -простого. В качестве p1 мы можем взять любой простой делитель a больший единицы. Если любой простой делитель не делит , то и взаимно простые числа. Теорема доказана.


1.2 Теорема1А. Пусть p-простое, b и c взаимно простые числа и с+b не кратно p. Тогда в равенстве

множители правой части и не имеют общего делителя.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m-простое число и делит . Это значит, что или . Последнее означает, что , , где: -целые числа.

(1) (2)

где:k-целое число.

Число не кратно p по условию теоремы, но кратно m, как следует из (1). Поэтому m не равно p и не кратно p поскольку m простое.

Число не делится на m так как для этого должно делится второе слагаемое в (2) p , где p-простое и не равно m, а r<m-простого. Аналогично доказывается для любого простого делителя . Если для всех простых делителей это выполняется, значит и взаимно простые числа. Теорема доказана.

Возможно, доказательства этих теорем где то существуют, но их не удалось найти. С использованием Теоремы1 и Теоремы1А можно получить известные в литературе 1 формулы Абеля. Мы их приведем здесь с использованием тех же обозначений, которые будут использованы далее

c-b=a (3)

c-a b (4)

a+b= c (5)

где: а ,b ,c - делители чисел а,b,c, соответственно.



1.3Теорема 2. Если уравнение а + b = с имеет решение при p-простом и числа а,b,с попарно взаимно просты и не делятся на p, то справедливо сравнение a + b c (mod p ).

Эта теорема устанавливает для первого случая теоремы Ферма более жесткую связь между числами a ,b, c чем известное ранее соотношение



a + b = c (mod p) (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем параметр e = a + b - c. Из (1) перенося c в левую часть получим

e= 0 (mod p) (2)

Используя формулы Абеля (3), (4),(5) из 1.2 и учитывая, что



е = a + b - c можно написать

e = a - a

e = b - b (3)

e = c - c

или a = e + a



b = e+ b (4)

c = c - e

Используя последние равенства можно уравнение а +b = с записать в виде



(e+ a ) + ( e+ b ) = ( c -e) (5)

Если последнее равенство выполнимо, то левая и правая его части сравнимы по модулю любого числа, в частности по модулю p . Тогда



(e+ a ) +( e+ b ) =( c - e) (mod p ) (6)

После возведения в степень и отбрасывания членов кратных p c учетом (2) получим

(a ) +( b ) ( c ) (mod p ) (7)

или (a ) a +(b ) b (c ) c (mod p ) (8)

В силу малой теоремы Ферма a 1(modp), b 1(mod p), c 1(mod p). Тогда (a ) 1(modp ) (b ) 1(modp ), (c ) 1(mod p ). С учетом последних сравнений из (8) получим

a +b c (mod p ) (9)

Теперь сложим два последних равенства из (3)



2e = c - c + b - b

или 2e = c - a - b (10)

С учетом (9) из последнего равенства получим

2e 0 (mod p )

Поскольку p нечетное число, последнее сравнение можно сократить на 2. Тогда



e 0(mod p ) (11)

Подставляя значение e в (11) получим a+b-c 0(mod p )

или a+b c (mod p ) (12)

Теорема доказана.

Интересную форму записи уравнения Ферма для первого случая можно получить после несложных преобразований.

Как следует из (10)



е = (13)

Теперь подставляя полученное значение е в левую часть уравнения (5) можно записать уравнение Ферма в виде



(e+ a ) +(e+ b ) = ( e + a +b ) (14)

Вводя функцию f(х) = (e + x) можно это же уравнение записать в другой форме


f(х ) + f(х ) = f(х +х ) (15)

где: х = a ; х = b ;

Удобно записать это уравнение как

f(х +х ) = f(х ) + f(х ) (16)
1.4. Свойства чисел уравнения Ферма
С помощью сравнений левой и правой частей уравнения Ферма по модулям различных чисел можно выявлять различные свойства и соотношения чисел, которые могли бы удовлетворять уравнению Ферма, если вообще оно имеет решение для каких то простых степеней р.

Как известно из [2], соотношение са+b (modр) получаем из сравнения левой и правой частей уравнения по модулю р. Точно также можно получить соотношение са+b (mod3) поскольку для любого нечетного р выполняются сравнения а a(mod3), b b(mod3), c c(mod3), для любых а,b,с в том числе, когда какое то число делится на р или на 3.

Если выполняются сравнения са+b(modр) и са+b (mod3), то справедливо сравнение по модулю произведения модулей са+b (mod3р).

Если еще учесть, что ара(2), bрb (mod2), срс(mod2), то получим



са+b (mod6р) (1)

Обычно доказательства теоремы Ферма разделяются на первый и второй случаи. Для первого случая ни одно из чисел а, b, с не делится на р, а для второго случая – одно из чисел делится на р. Два числа не могут делится на р потому, что в этом случае и третье число должно делиться на р и тогда уравнение можно сократить на рр.

Рассмотрим некоторые свойства чисел а,b,с не разделяя первый и второй случаи теоремы Ферма.

Если какое то число делится на р, то это число с, либо какое-то из чисел а или b. Для определенности будем полагать, что а не делится на р.

Соотношения, используемые в дальнейшем, справедливы не зависимо от того делится какое то из чисел b или с на p или ни одно число не делится на p. С учетом свойств, которые удастся выяснить в процессе анализа, числа а и b в уравнении будем считать заданными, а с неизвестным.

с = b + а (2)

Перенесем b в левую часть и разложим на множители



(с-b)(c ++b )= (3)

Один из множителей левой части



c-b=a (4)

что следует из формул Абеля. Это соотношение справедливо не зависимо от того с либо b кратно p или нет, а а как условились не кратно p. Число а является делителем а. Второй множитель левой части (3) явно больше единицы. Поэтому а содержит кроме а хотя бы еще один делитель больше единицы, причем на основании Теоремы1, не имеющий общего делителя с а .

Обозначим через а один из простых делителей а, но не являющийся делителем а . Если уравнение (2) имеет целочисленное решение то левая и правая его части сравнимы по модулю любого числа, в частности по модулю . Рассмотрим сравнение левой и правой части (2) по модулю а .

с b + а (mod а ) (5)

Поскольку а делит а, последнее сравнение примет вид



с b (mod а ) (6)

Сравнение такого вида, как известно [2], Гл.IV,§5,если имеет решения, то количество решений равно d=(p,φ(а )), а индекс правой части должен быть кратен d.

Поскольку p-простое, количество решений у нас определяется величиной φ(а ). Если φ(а ) кратен p, то d = p, в противном случае d =1. Индекс правой части в (6) кратен p, а потому он всегда кратен d. Следовательно сравнение (6) имеет решения. Рассмотрим два случая для d.

С л у ч а й 1. Пусть d=1.Сравнение (6) имеет одно решение. Это единственное решение легко найти проиндексировав (6).

Тогда pindc pindb (mod φ(а )) и разделив на p получим



ind c ind b (mod )

Единственным решением является



с b (mod а )

или с-b 0 (mod а ) (8)

С учетом известного соотношения (4) сравнение (8) примет вид

а =0 (mod а ) (9)

Поскольку а не кратно а , последнее сравнение не выполнимо. Следовательно сравнение (6) для случая d=1 не имеет решения, а следовательно не имеет решения и уравнение (2).



С л у ч а й 2. Пусть d= p.Сравнение (6)имеет p решений.

Найдем их пользуясь известной методикой 2,Гл.V,§5.Проиндексируем сравнение (6)



pindc pindb (mod φ(а )) (10)

Сократим на p с учетом, что φ(а ) кратен p. Тогда



indc indb (mod ) (11)

p различных значений indc найдем как

indc indb + (12)

где: k=0,1,,p-1.

Пусть α= . Тогда из (12) будем иметь

indc indb + αk (mod ) (13)

или indc indb +indg (mod ) (14)

где: g- первообразный корень по модулю а .

Решения для с в общем виде получатся как



с bg (mod а ) (15)

При различных значениях k мы получим p не сравнимых по модулю а числа. Решениями для с являются p классов чисел, в каждом из которых числа сравнимы по модулю а .

Если а не простое число, то все делители а имеют форму kp+1. Если бы это было не так, то рассмотрев сравнение (6) по модулю этого числа получили бы d=1 и пришли бы к С л у ч а ю 1 не имеющего решения.


следующая страница >>