Элективный курс по математике «Проценты на все случаи жизни» - rita.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Элективный курс. «Углубленное изучение некоторых вопросов математики» 1 64.91kb.
Элективный курс «Золотая пропорция» 1 166.09kb.
Элективный курс по математике «Решение нестандартных задач» Класс 1 138.69kb.
Элективный курс «Расширенное изучение отдельных тем по математике»... 1 67.17kb.
Найти простые проценты на эту сумму к концу срока 1 34.31kb.
Элективный курс «Понятие функции в математике и функциональной зависимости... 4 658.67kb.
Программа элективного курса по математике для учащихся 9-го класса 1 94.02kb.
Элективный курс. Построение сечений многогранников 1 117.54kb.
Элективный курс. «Учимся проводить экскурсии на английском языке»... 1 59.15kb.
Элективный курс «Энциклопедия русского быта или что непонятно у классиков» 4 677.14kb.
Новый взгляд на уравнения 1 45.59kb.
График прохождения курсов повышения квалификации педагогических работников... 1 154.21kb.
Публичный отчет о деятельности моу кассельская сош 2 737.71kb.
Элективный курс по математике «Проценты на все случаи жизни» - страница №1/2

Элективный курс по математике «Проценты на все случаи жизни»

для учащихся 10-11 классов


Автор программы: Кондрашкина О. А.

преподаватель математики

ТОГОУСПО «Многопрофильный колледж»

Аннотация программы


Понятие «проценты» вошло в нашу жизнь не только с уроками в средней школе и с проведением сложных научно-исследовательских работ, не только с выпечкой кулинарных изделий и приготовлением лакомств, солений и варений, оно буквально атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, кредитов, инфляций, девальваций. «Брать ссуду в банке или купить в кредит? Может быть выгоднее накопить денег для покупки дорогостоящей вещи?» Чтобы ответить на эти вопросы, требуется умение решать задачи по теме «Проценты».

Курс предполагает, что обучающиеся смогут свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, сумеют просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков, и выбрать наиболее выгодные. Практические задачи повседневной жизни человека в современном обществе, требуют для своего решения не только первичных знаний о процентах, но и более глубоких.

Это программа для тех, кто изучает математику, физику, химию, кому завтра предстоят выпускные и вступительные экзамены, кому в повседневной жизни приходится считать.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Интенсивная математизация различных областей человеческой деятельности особенно усилилась с внедрением современных информационных технологий, требующих математической грамотности человека буквально на каждом рабочем месте. Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку, это способствует «вхождению» в современную информационно-экономическую среду и, в конечном счете, облегчает социализацию.


Пояснительная записка


Предполагаемый элективный курс предназначен для реализации на 1-2 курсах колледжа (10-11кл). Данный курс направлен на удовлетворение познавательных интересов обучающихся, имеет прикладное общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления студентов, использует целый ряд межпредметных связей. Данный курс по выбору «Проценты на все случаи жизни» рассчитан на 1 час в неделю, всего 34 часа. Группа формируется на два семестра из студентов 1 и 2 курса, желающих заниматься математикой. Состав группы постоянный, количество обучающихся до 14 человек.

Условия реализации программы:

- наличие часов, отводимых на выполнение учебного компонента;

- предварительное разъяснение обучающимся целей, задач и содержания данного курса.
Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни. Обучающиеся встречаются с процентами на уроках физики, химии, чтении газет, просмотре телепередач. Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все студенты. Практика показывает, что очень многие окончившие школу не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процентов, как доли от некоторой заданной величины. Происходит это потому, что проценты изучаются на первом этапе основной школы, в 5-6 классах, когда учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни.

В последнее время экзамен по математике проводится в форме ЕГЭ, и в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ присутствует задача на проценты. Специфика темы такова, что значительное позитивное влияние на знания и умения учащихся оказывает последующее обучение, причем не математике, а химии, где процентные расчеты являются существенным элементом содержания обучения, об этом свидетельствуют и приемы решения задач, и способы записи их решения.

Содержание программы курса включает углубление тем базовой общеобразовательной программы, а так же расширение по отдельным темам. Каждое занятие включает теоретический материал (30%) и практические задания.

Цель элективного курса – обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме проценты, обретение практических навыков решения задач на проценты, повышение качества знаний школьников, развитие способностей учащихся применять знания в реальных жизненных ситуациях.

Разработанный курс направлен на решение следующих задач:



  • сформировать у обучающихся умения и навыки по решению задач с процентами, развить их математические способности;

  • активизировать познавательную деятельность обучающихся;

  • способствовать развитию алгоритмического мышления студентов;

  • расширить представления обучающихся о сферах применения математики, сформировать устойчивый интерес к предмету;

  • убедить обучающихся в практической необходимости владения способами выполнения математических действий;

– развивать способности учащихся к исследовательской и проектной деятельности;

  • повысить информационную и коммуникативную компетентность студентов.

Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке к математическим олимпиадам, ЕГЭ, централизованному тестированию и вступительным экзаменам в высшие учебные заведения.

Элективный курс предусматривает классно-урочную и лекционно-практическую системы обучения. Практическая часть предполагает использование типового школьного оборудования кабинета математики.

Программа содержит темы творческих работ и список литературы по предложенным темам.

В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности студентов, а также различных форм организации их самостоятельной работы.




Основное содержание курса:
Примерное тематическое планирование


Тема занятия,

кол-во час.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Ожидаемые результаты

Дроби и проценты.

Введение, актуальность,

повторение умений переводить дроби в проценты и наоборот.

Простейшие виды задач. Пропорция, основное свойство пропорции. Прямая пропорциональная зависимость.



3

Учитель, сообщив, учащимся цели и задачи курса, предлагает самостоятельно повторить по учебнику за 5 класс, сведения необходимые в дальнейшей работе.
Учитель предлагает повторить определения, виды задач, способ решения: применяя пропорцию.


Учащиеся работают с учебником, повторяют определение, правила, способы решения задач по действиям.

Учащиеся решают задачи из учебника за 6 класс (3 вида задач).



Итогом работы является таблица, устанавливающая связь между % и дробями, наиболее часто встречающимися, в задачах.
Краткие записи в тетрадях. Решения задач.

Экзаменационные задачи по теме «Проценты».

Решение задач из сборника.




3

Учитель предлагает учащимся ознакомиться с задачами из сборника и решить их, показывает оформление.


Учащиеся выбирают задачи из сборника и решают их (из 1 раздела задачи простейших видов).

Для решения задач из 2 раздела необходимы способы решения с помощью уравнений и систем уравнений.



Записи в тетрадях решений задач.

Проблема: способы решения задач с помощью уравнений и систем уравнений.



Систематизация стандартных знаний. Способы решения задач.


3

Учитель обобщает умения по составлению уравнений, предлагает учащимся решить задачу с помощью системы уравнений.

Учащиеся выполняют задание с проверкой у доски. Закрепляют умения при решении других задач (из 2 раздела сборника).


Научиться решать задачи на проценты из 2 раздела сборника.

Самостоятельная работа по теме «Решение экзаменационных задач на проценты». № 636, 638, 640, 642, 644 (раздел 1), №230, 231, 228 (раздел 2).

1

Учитель контролирует деятельность учащихся, помогает при необходимости.

Учащиеся отрабатывают умение решать экзаменационные задачи, выявляют затруднения, оценивают свою

подготовку.




Оценка и самооценка подготовки к экзамену по теме: «Проценты».

Текстовые задачи с практическим содержанием.



3

Учитель предлагает учащимся набор практических задач, причем их содержание ново для них.

Учащиеся решают, предложенные им задачи. Проблема заключается в том, что они должны применить известные приемы в новых ситуациях.

Научиться выделять в реальных явлениях и процессах математическую сущность. Установить преемственность связей прежних и новых знаний, применяемых в новых ситуациях.

Процентное содержание, процентный раствор. Концентрация. Смеси и сплавы.

Старинный способ решения.


5

Учитель предлагает учащимся повторить определения и решить задачи по теме занятия.

Уместно предложить учащимся старинный способ решения таких задач (экономит время и дает правильный ответ).



Учащиеся записывают определения, способы решения данных задач, решают задачи. Учащиеся знакомятся со способами решения, закрепляют и углубляют знания по теме занятия.

Обобщить и углубить знания по теме занятия и по способам решения таких задач.

Дополнительные задачи. Занимательные задачи, олимпиадные задачи, ЕГЭ, ВУЗ.



4

Учитель предлагает учащимся набор задач олимпиадного уровня (причем олимпиада по экономике) для учащихся, желающих проверить свои способности (ЕГЭ, ВУЗ).

Учащиеся решают задачи, выбранные ими по уровню сложности.

Если уровень подготовки учащихся невысок, то можно предложить задачи с практическим содержанием, на концентрацию, смеси и сплавы.




Углубить знания и умения по теме «Задачи на проценты», оценить свои способности. Возможно, для некоторых учащихся поработать над задачами, вызывающими затруднения.

Самостоятельная работа по теме «Расчетные задачи с прагматической ориентацией».


1

Учитель предлагает учащимся задачи: расчетные задачи всех видов.

Цель: обобщение по теме, контроль усвоения способов решения задач. Учитель контролирует и направляет работу учащихся.



Учащиеся анализируют набор задач, классифицируют их по видам и способам решения.

Возможна работа по группам, с последующим разбором решений.



Оценка и самооценка учащимися знаний и умений по всем видам задач на проценты, способам их решений.

Практическая работа: составление плана конспекта по изученному материалу; оформление работы.

2

Учитель дает рекомендации по составлению плана конспекта, информирует учащихся об оформлении первой части работы.

Учащиеся работают над составлением плана конспекта, выделяют основные правила и умения, используемые при изучении курса.

Составить план, оформить конспект.

Постановка целей. Формулирование задач для достижения целей. Определение плана дальнейшей работы. Информация о вариантах оформления результатов работы. Первичный сбор материалов.



2

Учитель предлагает учащимся поставить цель своей творческой работы

Как эту цель реализовать? Какие для этого есть возможности? Какие из них наиболее выгодные?

Учитель направляет, при необходимости, учащихся на возможные варианты решения их проблем.

Проверяет цели и планы, помогает корректировать их. Учитель знакомится с материалами учащихся, предлагает учащимся уточнить задачи, наметить сбор дополнительного материала, консультирует учащихся об оформлении результатов.




Учащиеся (индивидуально или по группам) определяют тему своей творческой работы. Распределяются в группы (возможна индивидуальная работа) и определяют цели и задачи своего проекта. Составляют план дальнейших действий. Собирают материалы для проекта.

Учащиеся знакомятся с материалами других ребят, обмениваются мнениями,



Сформулировать цели и задачи, составить план подготовки проекта, определить способы его оформления.



Практическая работа над проектом: изучение, собранных материалов, поиск и сбор дополнительной информации по теме проекта, уточнение способа оформления проекта.


3

Учитель контролирует деятельность учащихся, помогает при затруднениях.

Учащиеся реализуют намеченный план, корректируя и дополняя его по ходу подготовки проекта.


Собрать информацию. Оформить результаты, используя таблицы и схемы, графики и диаграммы, презентации, веб-страницы и т.п

Представление учащимися самостоятельно выполненных проектов. Мониторинг.


3

Учитель рецензирует работы, представленные учащимися.

Учащиеся представляют свои проекты на рецензию учителю, по мере необходимости дорабатывают их.

Мониторинг.

Заключительное занятие. Подведение итогов работы.


1

Защита проектов.

Учитель предлагает учащимся провести рефлексию по курсу.




Учащиеся высказывают свои мнения о выполненной работе, её актуальности.

Рефлексия. Вручение удостоверений (грамот) подтверждающих умения и знания (достижения) учащихся, полученные в результате освоения курса « Проценты на все случаи жизни»


Модуль №1 (теоретический)

  1. Дроби и проценты. Простейшие виды задач. (3ч)

  2. Экзаменационные задачи по теме «Проценты». (3ч)

  3. Систематизация стандартных знаний. Способы решения задач. (3ч)

  4. Решение экзаменационных задач на проценты. (1ч)

  5. Текстовые задачи с практическим содержанием. (3ч)

  6. Процентное содержание, процентный раствор. Концентрация. Смеси и сплавы.(4ч)

  7. Старинный способ решения. (2ч)

  8. Занимательные задачи, олимпиадные задачи, ЕГЭ, ВУЗ. (3ч)

  9. Решение расчетных задач с прагматической ориентацией. (1ч)

  10. Практическая работа: составление плана конспекта по изученному материалу; оформление работы. (2ч)

Модуль №2 (создание проекта)

11. Постановка целей. Формулирование задач для достижения целей. Определение плана дальнейшей работы. Информация о вариантах оформления результатов работы. Первичный сбор материалов (2ч)

12. Практическая работа над проектом: изучение, собранных материалов, поиск и сбор дополнительной информации по теме проекта, уточнение способа оформления проекта.(3ч)

13. Представление учащимися самостоятельно выполненных проектов. Мониторинг. (3ч)

14. Заключительное занятие. Подведение итогов работы.(1ч)
Методический комментарий:

При изучении курса обучающиеся систематизируют знания и умения по теме «Проценты», полученные в 5 и 6 классах (переводить проценты в десятичную дробь, десятичную дробь обращать в проценты, преобразовывать десятичные и обыкновенные дроби, решать задачи простейших видов), и углубят их, познакомившись с различными способами решения задач, не входящих в школьную программу.

Учащиеся развивают и углубляют общеучебные навыки и умения за счет: решения дополнительных задач (на процентное содержание, процентный раствор и концентрацию); новых способов их решения (уравнение, система уравнений, геометрически, старинный способ); решения задач с практической ориентацией; решения олимпиадных задач и из материалов ЕГЭ и вступительных экзаменов в ВУЗы.

Обучение учащихся осуществляется через практическую, самостоятельную или групповую деятельность студентов, через выявление, актуализацию и обогащение их собственного опыта в сотрудничестве с другими учащимися и учителем. В конце изучения курса обучающиеся представляют свой проект по выбранной ими теме. Они самостоятельно определяют для себя, его цели и задачи. Одни из них собирают предложения магазинов и банков, просчитывают реальные суммы, выраженные в рублях, а затем, анализируя результаты, выбирают наиболее для них выгодные. Другие рассматривают конкретные задачи, которые предлагаются на уроках химии, физики или экономики. В проекте должны быть



  • теоретическая часть, в которой отражены основные знания и умения по теме «Проценты»;

  • различные материалы по теме проекта «Кредит, ссуда или сберегательный вклад?», «Проценты на уроках …»: выполненные расчеты по предложениям магазинов и банков, анализ полученных результатов, выбор наиболее выгодных предложений и т.д.

Обучающиеся оформляют проекты, представляют их, учатся при этом обоснованно и рационально излагать свои мысли, вырабатывают умение слушать товарищей, дополнять и комментировать их ответы. Решение практических задач позволит учащимся применить в новых ситуациях известные приемы, установить связь между изученным материалом и окружающей реальностью. При этом в будущем, любой студент свободно сможет воспользоваться, полученными знаниями и навыками, подобных расчетов, что, безусловно, будет полезно в его дальнейшей жизни.

Таким образом, создаются условия для активизации познавательного интереса, и обучающиеся становятся активными участниками происходящих вокруг них жизненных событий, осмысливают материал курса и целенаправленно смогут применить полученные знания, умения и навыки в практической деятельности. Изучение курса поможет учащимся соотнести свои индивидуальные возможности, интересы с особенностями, современными требованиями предмета математики.

Внутрипредметные связи, при изучении содержания курса, находят свое воплощение в построении и исследовании математических моделей (уравнений и их систем, графиков функций и т.п.) и служат обобщению и приведению знаний в систему по ходу обучения.
Требования к уровню усвоения курса:

по окончанию изучения курса обучающиеся должны

знать /понимать:


  • смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами;

  • построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач,

  • понятие процента;


иметь представление: о применении процентов в повседневной жизни;

уметь:

  • представлять проценты — в виде дроби и дробь – в виде процентов;

  • находить проценты от величины, величину по ее проценту;

  • выражать отношения в процентах;

  • применять полученные математические знания в решении жизненных задач;

  • уметь использовать дополнительную математическую литературу.

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

  • анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;

  • решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и химических;

  • самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;

  • выполнения расчетов практического характера;


Контроль:

В ходе занятий учащиеся выполняют индивидуальные контрольные задания, а по окончанию занятий курса проект, тема которого определяется каждым обучающимся индивидуально Список тем может быть сообщен заранее, чтобы студенты могли воспользоваться правом выбора темы или даже сумели предложить свои собственные «свободные» темы. Работа над выбранной темой может быть сугубо индивидуальной, но не исключается выполнение проекта неболь­шой группой учеников.

Обсуждение результатов выполнения проекта желательно про­водить во время публичной защиты, куда могут быть приглашены и не изучавшие данный курс учащиеся.

При обсуждении результатов проекта целесообразно обра­тить внимание на то, какие задачи (проблемы) ставили перед собой группа или отдельный ученик и решены ли они полностью или частично, каков был вклад каждого участника в работу груп­пы (что он сделал); какого качества материалы, подготовленные группой или учеником. Оценку проекта целесообразно провести качественно.



Учебно- методическое обеспечение программы

- специальная справочная литература;

- методическая литература:

- дидактический и раздаточный материал;

- набор КИМов ЕГЭ прошлых лет:

- желательно наличие компьютеров дома у учащихся.

- наличие программы курса.
Вводный тест по теме «Проценты»


  1. Найдите 25% от 56.

А) 14 Б) 22,04 В) 20 Г) 25





  1. Найдите число, если 1% его равен 75.

А) 0,75 Б) 7,5 В) 7500 Г) 750





  1. Клубника содержит 6% сахара. Сколько килограммов сахара в 27 кг клубники?

А) 1,82 кг Б) 1,62 кг В) 2,24 кг Г) 2,42 кг


  1. Книга стоила 25 р. После повышения цены она стоит 30,25 р. На сколько процентов возросла стоимость книги?

А) на 21% Б) на 20% В) на 24% Г) на 25%


  1. Найдите число, 34% которого равны 170.

А) 57,8 Б) 500 В) 56,5 Г) 510




  1. На математической олимпиаде 32% участников получили грамоты. Сколько школьников приняло участие в олимпиаде, если наградили 416 человек?

А) 932 Б) 1300 В) 133,1 Г) 1340


  1. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?

А) 330% Б) 30% В) 125% Г) 45%


  1. Число уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить полученное число, чтобы получить данное число?

А) на 20% Б) на 40% В) на 25% Г) на 30%


  1. Число 56 составляет 80% от некоторого числа. Найдите среднее арифметическое этих чисел.

А) 63 Б) 44,8 В) 126 Г) 56


  1. Сторону квадрата уменьшили на 20%. На сколько процентов уменьшилась его площадь?

А) на 20% Б) на 36% В) на 10% Г) на 40%
Таблица ответов:

задания

Ответ

1

А

2

В

3

Б

4

А

5

Б

6

Б

7

Б

8

В

9

А

10

Б

Приложение 1



Тематика возможных проектных (творческих, исследовательских) работ учащихся
1. Проценты на уроках…

Учащимся предстоит выяснить, какие задачи «на проценты», и на каких предметах они решают. Учащимися проводится самостоятельная исследовательская работа, в ходе выполнения которой учащиеся выясняют, как используется понятие процентов при изучении других дисциплин? Результаты работы обсуждаются совместно, дополняются.

При изучении этого вопроса рассматривается использование процентов на уроках химии, физики, географии. В восьмом классе учащиеся начали изучать химию. Химия тесно связана с математикой, т.к. при решении химических задач необходимо знание процентов, умение составлять пропорции. Поэтому одной из таких работ может быть проект «Проценты на уроках химии».

2. Кредит, ссуда или сберегательный вклад?

Понятие процентов и их роли в повседневной жизни. В этом проекте учащимся предстоит:



  • определить какую крупную вещь вы решили приобрести;

  • желательно познакомиться с правами и обязанностями потребителя (покупателя) и определить, что необходимо для того, чтобы стать грамотным покупателем;

  • изучить типы соответствующих магазинов в вашей местности, исследовать цены и ассортимент интересующих вас товаров;

  • определить максимально подходящий магазин для покупки, запланированной вещи;

  • выяснить (собрать) предложения

    1. различных магазинов (цена товара, первый взнос, проценты по кредиту)

    2. банков по ссудам (виды кредитов, проценты, сроки, условия)

    3. банков по вкладам (процентные ставки, виды вкладов, сроки)

    4. кредитных отделов (первый взнос, проценты, сроки возврата кредита);

      • выполнить расчеты, оформить результаты (таблицы, схемы, графики, диаграммы);

  • проанализировать полученные результаты, выбрать наиболее выгодные предложения.




  1. Профессия + проценты.

В этом проекте учащимся предстоит:

  • изучить интересные и престижные профессии,

  • выделить те группы профессий, в которых необходимы знания о процентах;

  • детально изучить несколько профессий,

  • создать базу данных (включающую название профессии, диапазон заработной платы, необходимые навыки образования и работы, учебные заведения в которых можно получить необходимое образование, какие школьные предметы требуются на вступительных экзаменах, предполагаемое место работы, должностные обязанности, и т.п.)



Приложение 2

В целом учащиеся приобретают навыки в решении дидактических упражнений на проценты, не имеющих прагматической ориентации (в жизни они с такими формулировками не встретятся), в то время как в практических, значительно более важных ситуациях не могут применить известные приемы. Не имеют достаточного уровня абстрактного мышления, для выделения в реальных явлениях и процессах математической сущности, связи между изученным материалом и окружающей реальностью.

Задачи для решения, предлагаемые в 10-11 классах, содержат прагматическую ориентацию, их формулировки имеют практическое применение, представляют конкретные интересы.

10 – 11 КЛАСС

РАЗДЕЛ 1.

1. В классе присутствует 60% всех учащихся. Сколько процентов учащихся отсутствует?

1. Выразите в процентах ¼ всех жителей города.

3. Найдите 16% от 20000 рублей.

4. Сколько будет, если 20000 руб. увеличить на 16%?

5.Сколько процентов составляют 400 руб. от 200 руб.?

6. 20% некоторой суммы составляют 100 рублей. Какая это сумма?

РАЗДЕЛ 2.

Задания представлены в виде текстовых задач.

1. Квартирная плата повысилась на 20%. За прошлый месяц заплачено 120рублей. Сколько надо заплатить за текущий месяц?

2. В референдуме приняли участие 18 тыс. человек, что составило 60% всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько жителей имеют право голоса?

3. В 5 тысячах из выпущенных 20 тысяч коробочек с жевательной резинкой находится сюрприз. Сколько процентов составили коробочки с сюрпризами?

4. Банком установлен тариф на пролонгацию аккредитива в размере 0,2% за квартал от суммы аккредитива. Вычислите размер комиссионных за пролонгацию аккредитива на сумму 100000 рублей за один квартал?

5. В первом квартале литр молока стоил 10 рублей. Во втором квартале цена на молоко повысилась на 20%, а в третьем еще на 50%. Сколько стал стоить литр молока?

6. Фирма платит разносчикам рекламных изданий за первую партию 10 тыс. рублей, а за каждую следующую в тот же день – на 5% больше по сравнению с предыдущей. Сколько получит человек, если в течение одного дня он разнес 4 партии изданий?



РАЗДЕЛ 3.

1. 15% жителей города ежегодно слушают ВВС, 45% - радио «Свобода» и 40% - «Голос Америки». Можно ли сказать, что все жители города ежедневно слушают передачи западного радио?

2. Себестоимость товара 30 тыс. рублей. В магазине этот товар продается по цене 90 тыс. руб. Сколько процентов от себестоимости составляет розничная цена.

3. Валовой национальный продукт государства составил 33 млрд. долларов, что соответствует 75% от планировавшегося бюджетом. Найдите плановую величину НВП этого государства.

4. Подоходный налог установлен в размере 13%. До вычета подоходного налога 1% заработной платы отчисляется в пенсионный фонд. Работнику начислено 5420 рублей. Сколько он получит после указанных вычетов?

5. Инфляция составляет 10% каждый месяц. Сколько процентов составила инфляция за два месяца?

6. В результате мелиоративных мероприятий посевные площади увеличились на 150% по сравнению с прошлым годом. Найдите величину посевных площадей этого года, если в прошлом году она была 60 га
Приложение 3
ЗАДАНИЯ ИЗ ВАРИАНТОВ ЕГЭ

1. Смешали 160 г раствора, содержащего 60% соли, и 240 г раствора, содержащего 40% соли. Сколько процентов соли в получившемся растворе?

2. В январе пакет акций стоил на 10% меньше, чем в феврале. В феврале этот же пакет акций стоил на 20% меньше, чем в марте. На сколько процентов меньше стоимость акций в январе, чем в марте?

3. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?

4. Зарплату повысили на р%. Затем новую зарплату повысили на 2р%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?
ЗАДАНИЯ ИЗ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В ВУЗы

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Имеются три металлических слитка. Первый весит 5 кг, второй – 3 кг, и каждый из этих двух слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найти вес третьего слитка и процент содержания меди в нем.



ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Сосуд вместимостью 8 л наполнен смесью кислорода и азота. На долю кислорода приходится 16% вместимости сосуда. Из сосуда выпускают некоторое количество смеси и впускают такое же количество азота, после чего опять выпускают такое же, как в первый раз, количество смеси и опять добавляют столько же азота. В новой смеси кислорода оказалось 9%. Какое количество смеси каждый раз выпускалось из сосуда?



ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Банк планирует вложить на 1 год 40% имеющихся у него средств клиентов в проект Х, а остальные 60% - в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект Х может принести прибыль в размере от 19 до 24% годовых, а проект Y – от 29 до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определить наименьший и наибольший возможный уровень % - ой ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10 и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты Х и Y.



СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

В дошкольном учреждении провели опрос. На вопрос: «Что Вы предпочитаете, кашу или компот?» - большая часть ответила: «Кашу», меньшая: «Компот», а один респондент: «Затрудняюсь ответить». Далее выяснили, что среди любителей компота 30% предпочитают абрикосовый, а 70% - грушевый. У любителей каши уточнили, какую именно кашу они предпочитают. Оказалось, что 56,25% выбрали манную кашу, 37,5% - рисовую, и лишь один ответил: «Затрудняюсь ответить». Сколько детей было опрошено?



ОЛИМПИАДА ПО ЭКОНОМИКЕ (11 КЛАСС)

Задача 1. Господин Лебединский арендует Белый Дом и платит за аренду 20000 долларов в год. Остальные деньги он хранит в банке, что приносит ему 12% годовых. Стоимость дома- 180000 долл. Определите, стоит ли Лебединскому приобретать этот дом, если ему представится такая возможность.

Задача 2. В течении трех лет инфляция составляла соответственно по годам: 1-й год-15%, 2-ой год- 29%, 3-й год-33%. Вы положили свой капитал в банк на 3 года под 21% годовых. На сколько % за 3 года ваш капитал увеличился или уменьшился в реальном исчислении?
Приложение 4

ПРОЦЕНТНОЕ СОДЕРЖАНИЕ, ПРОЦЕНТНЫЙ РАСТВОР

Тип задач на составление уравнений и систем уравнений – задачи на сплавы и смеси, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность».

Процентное содержание вещества в растворе, иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

1. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если %-е содержание соли 15%?

Решение: 10∙0,15 = 1,5(кг).

Ответ: 1,5 кг.
Процентное содержание вещества в сплаве – это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

2. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение:

1) 10 + 15 = 25(кг) сплав;

2) 10 : 25 ∙ 100% = 40% процентное содержание олова в сплаве.

3) 15 : 25 ∙ 100% = 60% процентное содержание цинка в сплаве.

Ответ: 40%, 60%.


КОНЦЕНТРАЦИЯ, СМЕСИ И СПЛАВЫ

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.



Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 300∙0,87 = 261 г.

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношение объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом случае концентрация – безразмерная величина.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле: к = р : 100%,

к – концентрация вещества;

р – процентное содержание вещества (в процентах).

Дополнительные задачи.

Задача 1. Имеется два сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго слава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Решение (с помощью уравнения): Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить Х кг второго сплава. Тогда получим (20+Х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4∙20 = 8 (кг) серебра, а в (20+Х) кг нового сплава содержится 0, 32∙(20+Х) кг серебра. Составим уравнение: 8+0,2Х = 0,32(20+Х), Х=13 1/3.

Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

Задача 2. При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решение (с помощью системы уравнений):

Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмем для смешивания Х г 5%-ного раствора кислоты (или 0,05Х г) и Υ г 40%-ного раствора (или 0,4Υ г). Так как в 140 г нового раствора кислоты стало содержаться 30%, т. е. 0,3∙140 г, то получаем следующее уравнение 0,05Х + 0,4Υ = 0,3∙140. Кроме того Х + Υ = 140.

Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:

0,05Х + 40Υ = 30∙140,

Х + Υ = 140.

Из этой системы находим Х = 40, Υ = 100. Итак, 5%-ного раствора кислоты следует взять 40 г, а 40%-ного раствора – 100 г.



Ответ: 40 г, 100 г.
Старинный способ решения

Таким способом можно решать задачи на смешивание (сплавление) любого числа веществ. Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Л. Ф. Магницкого. Данный способ позволяет получить правильный ответ.



Решим предыдущую задачу 2 старинным способом. Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:
5

30

40
Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, и результат запишем в конце соответствующей черточки. Получится такая схема:

5 10

30

40 25

Из нее делается заключение, что 5%-ного раствора следует взять 10 частей, а 40%-ного – 25 частей (140 : 35 = 4 г приходится на одну часть), т. е. для получения 140 г 30%-ного раствора нужно взять 5%-ного раствора 40 г, а 40%-ного – 100 г.



Ответ: 40 г, 100 г.

Задача 3.

В общем виде решим задачу старинным способом.



Предположим, что смешиваются Х г а%-ного раствора кислоты (или а:100Х г) и Υ г b%-ного раствора кислоты (или b:100Υ г). При этом необходимо получить с%-ный раствор.

Решение: Пусть для определенности, а < с < b,

а b - с

с

b с - а
Задача 4. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?



Решение (старинным способом):

10 3


8

5 2


Таким образом 15 л – это 3 части, 15 : 3 = 5 л приходится на одну часть, тогда 5 ∙ 2 = 10 л добавили 5%-ного раствора.

Ответ: 10 л.

Задачи из приложения 6 (задания из вариантов ЕГЭ) №1-4.
Приложение 5

Математические знания, безусловно, должны носить четко выраженный прагматический характер. К такому кругу относятся знания, связанные с процентами. Их прагматическая значимость очевидна, в особенности для современного общества. В частности, вполне практические задачи повседневной жизни человека, возникающие, в том числе и у старшеклассников и непосредственным образом связанные с процентами, требуют для своего решения не только первичных знаний о процентах, получаемых в основной школе, но и значительно большего круга математических понятий.


Задача 1.

Стоимость компьютера 1250 долларов. Какова будет его стоимость после снижения цены на 20%?

Задача 2.

Торт стоил 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит торт?
В первую очередь изучению – на основной или старшей ступени – подлежат «сложные» проценты. Понятия «простых» и «сложных» процентов, при условии достаточного овладения учащимися этими понятиями, могут послужить мощным источником мотивации введения многих математических понятий. Основой для введения арифметической и геометрической прогрессий. Приведу в качестве примера три задачи.
Задача 3.

Скорость тела, движущегося равноускоренно, каждую секунду увеличивается на 10%. В данный момент его скорость10,00 м/сек. Какова будет его скорость через три секунды?

Задача 4.

При внесении квартирной платы на один день позже установленного срока начисляется пеня в размере 0,1% от суммы платежа. Сколько придется заплатить в случае задержки квартирной платы на три месяца, если квартирная плата составила 100 рублей?

Задача 5.

Банком установлена процентная ставка из расчета 3% в месяц. Сколько денег должен получить гражданин, вложивший в этот банк 100 рублей на 3 месяца?
Следует заметить, что самые естественные примеры могут служить «материальным» доказательством сравнения скорости роста арифметической и геометрической прогрессий. Этот факт оказывается, таким образом, не чисто математическим, причем достаточно сложным «изысканием», а совершенно очевидным «на практике» утверждением.

Задача 6.

Выгодно ли гражданину задержать на три месяца внесение квартирной платы (задача 4), вложив эти 100 рублей в банк (задача 5)?
Линия геометрической прогрессии в дальнейшем, на старшей ступени естественным образом перерастает из дискретной модели в непрерывную, т.е. степенную, показательную и логарифмическую функцию.

Приложение 6

Решение задач с помощью уравнения

Проблема заключается в том, что даже при решении несложных задач, возникают затруднения при переводе текста задачи на язык уравнений.



Систематизируем знания по данному вопросу.

Неизвестную величину обозначим через Х, тогда



  • чтобы найти 20% от нее, надо 0,2Х;

  • чтобы увеличить ее, например, на 10%, надо Х+0,1Х=1,1Х;

  • чтобы уменьшить ее, например, на 30%, надо Х-0,3Х=0,7Х,

  • в общем виде: если 0 < Р < 100,

  • чтобы найти Р% от Х, надо 0,РХ;

  • чтобы увеличить ее на Р%, надо Х+0,РХ=1,РХ;

  • чтобы уменьшить ее на Р%, надо Х-0,РХ=(1-0,Р)Х, далее составляем уравнение, соответствующее условию задачи.

Задача

В двух школах поселка было 1500 учащихся. Через год число учащихся первой школы увеличилось на 10%, а второй – на 20%, и в результате общее число стало равным 1720. Сколько учащихся было в каждой школе первоначально?

Решение:

Пусть Х учащихся было в первой школе, тогда (1500-Х) учащихся было во второй школе. После увеличения на 10% учащихся первой школы их стало Х+0,1Х=1,1Х, а во второй школе стало (1500-Х)+0,2(1500-Х)=1500-Х+300-0,2Х=1800-1,2Х учащихся. В результате их общее число стало равным 1720. Составим уравнение

1,1Х+1800-1,2Х=1720

-0,1Х=-80

Х=800

Таким образом получили, что 800 учащихся было в первой школе, тогда 700 учащихся было во второй школе первоначально.



Ответ: 800 и 700 учащихся.

Решение с помощью системы уравнений

Когда в условии задачи неизвестными являются две величины, то можно решить задачу с помощью системы уравнений. Решим предыдущую задачу с помощью системы уравнений.



Решение:

Пусть Х учащихся было в первой школе, тогда Υ учащихся было во второй школе. В двух школах поселка было 1500 учащихся. После увеличения учащихся первой школы их стало 1,1Х, а во второй стало 1,2Υ учащихся, в результате их общее число стало равным 1720. Составим систему уравнений и решим ее способом подстановки



Х+Υ=1500, Х=1500-Υ, Х=1500-Υ, Х=800,

1,1Х+1,2Υ=1720; 1,1(1500-Υ)+1,2Υ=1720; Υ=700; Υ=700.



Ответ: 800 и 700 учащихся.
Модель урока
Тема: Решение задач на проценты с помощью уравнений
Цель урока: Отработка навыков по решению задач на проценты с помощью уравнений

Ход урока:


I Актуализация знания
Тест – опрос. Установите истинность (ложность утверждения)

1) Верно ли:

а) 37% = 0,37

б) 290% = 2,9

в) 9% = 0,9

2) Верно ли:

а) 5% от 400 равно 20

б) 20% от 300 равно 6

в) 1% от 1 м равно 10 см

3) Найти число х:

а) 4% его равны 160; х = 400

б) 70% его равны 560; х = 800

в) 17% его равны 68; х = 400

4) Процентное отношение чисел:

а) 150 к 500 равно 30%

б) 7 к 10 равно 700%

в) 137 к 100 равно 137%
Таблица ответов:


1

2

3

4

а

б

в

а

б

в

а

б

в

а

б

в

+

+



+



+



+

+

+



+

Условные обозначения:

+ «Истинна»

– «Ложь»


II Решение задач
Задача 1. Одной машинистке на перепечатку рукописи требуется на 12 ч больше, чем другой. Если 25% рукописи перепечатает первая машинистка, а затем к ней присоединится вторая машинистка, то на перепечатку рукописи им понадобиться 35 ч, считая от момента начала работы первой машинистки. За сколько часов могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая отдельно?

Решение: Пусть на перепечатку рукописи первой машинистке требуется ч, тогда второй потребуется ч. На перепечатку 25% рукописи первая машинистка затратит ч. Выясним теперь, сколько времени потребуется двум машинисткам на перепечатку оставшихся 75% рукописи. Первая машинистка перепечатывает за один час часть рукописи, вторая – часть рукописи, а вместе за час они перепечатывают часть рукописи. На перепечатку рукописи им потребуется ч, т.е. ч. Отсюда получаем уравнение:

Решив это уравнение, найдем, что оно имеет два корня: и .

Второй корень не соответствует условию задачи.

Ответ: первой машинистке на перепечатку рукописи требуется 60 ч, а второй – 48 ч.


Задача 2. Положив в банк деньги, вкладчик получил через год прибыль в 240 тысяч рублей. Однако он не стал забирать деньги из банка, а, добавив к ним еще 60 тысяч, снова оставил деньги на год. В результате спустя еще год он получил в банке 1 миллион 100 тысяч рублей. Какая сумма была положена в банк первоначально и какой процент прибыли в год давал банк?

Решение: Допустим, что первоначальный вклад составляет тысяч рублей. Тогда процент прибыли за год равен . Сумма вклада, положенного в банк через год, составила тысяч рублей, т.е. тысяч рублей. Этот вклад принес доход, равный тысячам рублей. Всего вкладчик получил 1100 тысяч рублей.

Получаем уравнение:

Решив его, найдем, что это уравнение имеет два корня: , Выполнив расчеты, можно убедиться, что оба корня соответствует условию задачи.

Ответ: задача имеет два решения: вкладчик вложил первоначально 200 тысяч рублей и получил доход 120% в год или вкладчик вложил первоначально 360 тысяч рублей и получил доход в год.


Задача 3. Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором. После того как оба слитка сплавили, получили слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди в первом и во втором слитках, если в первом слитке было 6 кг меди, а во втором – 12 кг.

Решение: Обозначим за массу первого слитка в кг, за массу второго слитка в кг, получим систему уравнений:

В результате получим: х=30, у=20.

Ответ: 30 кг, 20 кг
Задача 4. Для определения оптимального режима снижения цен социологи предложили фирме с 1 января снижать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 10%, в другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо снижать цену товара через каждые два месяца во втором магазине?

Решение: Пусть руб. - стоимость товара, - число процентов. Тогда,

I магазин

Февраль

Март

……………………………………

Июль

II магазин

Март

Май

Июль

По условию задачи через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковые, составляем уравнение:



Ответ: на 21%.


III Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала повышать сотруднику зарплату на 3%. Однако в связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько процентов фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы 1 января следующего года зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренной договором.

Решение: Пусть руб. - зарплата, - процент повышения зарплаты. Тогда,

По плану

I квартал руб.

……………………………

IV квартал руб.

Фактически

I полугодие руб.

II полугодие руб.

По условию задачи зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренного договором, составляем уравнение:



Ответ: на 6,09 %.



Задача 2. На заводе было введено рационализаторское предложение. В результате время, необходимое для изготовления рабочими некоторой детали, уменьшилось на 20%. На сколько процентов возросла производительность труда этого рабочего?

Решение: Пусть - производительность труда, а - весь объем работы. Тогда работа будет выполнена за время . В результате роста производительности труда время на изготовление детали стало равно , соответственно производительность , или . Соответственно рост производительности труда составил:

Ответ: 25%
Задача 3. Из жителей города одни говорят только на украинском, другие – только на русском, третьи – на обоих языках. По-украински говорят 85% всех жителей, а по-русски – 75%. Сколько процентов всех жителей этого города говорят на обоих языках?

Решение:

100%-85%=15% - не говорят на украинском;

100%-75%=25% - не говорят на русском;

100%-15%-25%=60% - говорят на обоих языках.

Ответ: 60%


Приложение 7

ЗАДАЧИ ИЗ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО СБОРНИКА


следующая страница >>